Aufgabe 1338
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinusfunktion
Im untenstehenden Diagramm sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.
Die Funktion f hat die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) mit den reellen Parametern a und b. Wenn diese Parameter in entsprechender Weise verändert werden, erhält man die Funktion g.
Aufgabenstellung:
Wie müssen die Parameter a und b verändert werden, um aus f die Funktion g zu erhalten? Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a ___1___ und b ___2___ .
1 | |
verdoppelt werden | A |
halbiert werden | B |
gleich bleiben | C |
2 | |
verdoppelt werden | I |
halbiert werden | II |
gleich bleiben | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Lösungsweg
- Faktor a: Er entspricht der Amplitude, also der Maximalauslenkung in Richtung der y-Achse. Die Amplitude von f können wir aus der Illustration zu 2 ablesen, die von g soll aber nur 1 also halb so hoch sein → Die Amplitude von f muss halbiert werden, um zur Amplitude von g zu werden.
- Faktor b: Er bewirkt eine Änderung der Periodendauer, also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse. Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Innerhalb dieses Intervalls durchläuft die Funktion f eine Periode, während die Funktion g zwei Perioden durchlaufen muss. Daher muss bei der Funktion g der Faktor b doppelt so hoch sein, wie bei der Funktion f.
→ Um den Graphen von g zu erhalten, muss a halbiert werden und b verdoppelt werden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a halbiert werden und b verdoppelt werden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken jeweils der richtige Satzteil angekreuzt ist.