Aufgabe 6017
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Eigenschaften einer Sinusfunktion
Gegeben ist die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {2x} \right)\).
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Amplitude der Funktion f an.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Periode der Funktion f an.
3. Teilaufgabe a.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Wertemenge der Funktion f an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Amplitude
Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden:
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse. Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall [0;2π]. Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
\(\begin{array}{l} b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\\ 2 = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \to T = \pi \end{array}\) - Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse.
a=1: Die Amplitude von sin(2x) ändert sich nicht gegenüber der Amplitude von sin(x), daher beträgt die Amplitude=1
2. Teilaufgabe:
Periodendauer
b=2: Für die Periodendauer von sin(x) gilt T=2π, weil im Intervall [0;2π] eine volle Periode liegt. Im Intervall [0;2π] liegen 2 volle Perioden von sin(2x), daher beträgt die Periodendauer von sin(x): T=π
3. Teilaufgabe:
Wertemenge
Die Funktionswerte und damit die Wertemenge von sin(x) liegen im Intervall -1; 1]. Da sin(2x) die gleiche Amplitude wie sin(x) hat, muss auch für dessen Wertemenge gelten:
\({W_f} = \left[ { - 1;1} \right]\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Amplitude=1
2. Teilaufgabe:
Periodendauer T=π
3. Teilaufgabe:
\({W_f} = \left[ { - 1;1} \right]\)