Aufgabe 1284
AHS - 1_284 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodizität
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen f1, f2 und f3 von Funktionen der Form \(f\left( x \right) = \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
\({f_1} = \sin \left( x \right);\) \({f_2} = \sin \left( {2x} \right);\) \({f_3} = \sin \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie jeweils die der Funktion entsprechende primitive (kleinste) Periode p!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Periodendauer
\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)
Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.
Lösungsweg
Wir untersuchen für jede der 3 gegebenen Funktionen, wie lange die Periodendauer ist, also ab wann der 1. Funktionswert f(x=0) wieder auftritt, wobei auch die gleiche Steigung der Tangente auftraten muss.
- f1: Diese Funktion hat eine Periodendauer \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) nach \({p_1} = 2\pi\) durchlaufen
- f2: Diese Funktion hat eine Periodendauer \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) nach \({p_2} = \pi\) durchlaufen
- f3: Diese Funktion hat eine Periodendauer \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) nach \({p_3} = 4\pi\) durchlaufen, in der Illustration ersichtlich ist allerdings nur die halbe Periodendauer \(\dfrac{{{p_3}}}{2} = 2\pi \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- f1: \({p_1} = 2\pi\)
- f2: \({p_2} = \pi\)
- f3: \({p_3} = 4\pi\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn alle drei Werte korrekt angegeben und den Funktionen richtig zugeordnet sind.