Aufgabe 1066

AHS - 1_066 & Lehrstoff: FA 6.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wirkung der Parameter einer Sinusfunktion

Gegeben ist eine Sinusfunktion der Art \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\). Dabei beeinflussen die Parameter a und b das Aussehen des Graphen von f im Vergleich zum Graphen von \(g\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)

A Dehnung des Graphen der Funktion entlang der x-Achse auf das Doppelte
B Phasenverschiebung um 2
C Doppelte Frequenz
D Streckung entlang der y-Achse auf das Doppelte
E Halbe Amplitude
F Verschiebung entlang der y-Achse um –2

 

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Parameterwerten die entsprechenden Auswirkungen (aus A bis F) auf das Aussehen von f im Vergleich zu g zu!

  Deine Antwort
\(a = 2\)  
\(a = \dfrac{1}{2}\)  
\(b = 2\)  
\(b = \dfrac{1}{2}\)  

Lösungsweg

  • Parameterwert 1: \(a = 2\) → Die Amplitude wird verdoppelt, dh die Schwingung schlägt entlang der y-Achse doppelt so hoch (nach oben und nach unten) aus. ⇒ Antwort D
     
  • Parameterwert 2: \(a = \dfrac{1}{2}\) → Die Amplitude wird halbiert, dh die Schwingung schlägt entlang der y-Achse nur halb so hoch (nach oben und nach unten) aus. ⇒ Antwort E
     
  • Parameterwert 3: \(b = 2\) → Die Schwingung hat die doppelte Frequenz, dh die Periodenlänge beträgt nicht \(2\pi \), sondern nur die Hälfte ⇒ Antwort C
     
  • Parameterwert 4: \(b = \dfrac{1}{2}\) → Die Schwingung hat die halbe Frequenz, dh die Periodenlänge beträgt nicht \(2\pi \) , sondern das Doppelte wodurch der Graph entlang der x-Achse gedehnt wird ⇒ Antwort A

Für die Änderung der Parametern einer Sinusfunktion gilt:

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge - der sogenannten Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Parameterwert 1: Antwort D
  • Parameterwert 2: Antwort E
  • Parameterwert 3: Antwort C
  • Parameterwert 4: Antwort A

Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe ist nur dann als richtig zu werten, wenn alle Buchstaben richtig zugeordnet sind.