Aufgabe 4343
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutdruck - Aufgabe B_448
Teil b
Die zeitliche Entwicklung des sogenannten systolischen Blutdrucks einer Testperson wird durch eine Funktion f modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
Die Funktion f wird beschrieben durch:
\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135\)
t |
Zeit in h |
f(t) | systolischer Blutdruck zur Zeit t in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) |
a | Parameter |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zeitangabe in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Bestimmen Sie den Parameter a.
[1 Punkt]
Der Graph der Funktion f1 in der obigen Abbildung entsteht durch vertikale Verschiebung des Graphen von f.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ausgehend von f eine Funktionsgleichung für f1.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135 \cr & f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t} \right) + c \cr} \)
Faktor b: Er bewirkt eine Änderung der Periodendauer, also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse. Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall [0;2π].
\(\left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) = 2 \cdot \pi \to t = 24\)
Man könnte die Funktion auch wie folgt umschreiben:
\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135 = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{{24}} \cdot t} \right) + 135\)
An der Stelle t=24 hat die Funktion f eine volle Periode der Dauer \(2 \cdot \pi \) durchlaufen. Somit können wir die 12 markierten Abschnitte in der gegebenen Illustration auf der x-Achse mit 2,4,6,8,…,24 beschriften und den Wert beim Kästchen mit t=6 ablesen und daher den Wert "6" eintragen.
→ Im Kästchen ist die Zahl 6 einzutragen
2. Teilaufgabe:
Faktor a: Er entspricht der Amplitude, also der Maximalauslenkung in Richtung der y-Achse. Die Amplitude von f können wir aus der Illustration zu 135-127,5=7,5 ablesen.
→ Der Parameter a beträgt 7,5
3. Teilaufgabe:
Summand c: Er bewirkt eine Verschiebung der Funktion f in Richtung der positiven y-Achse um 135 Einheiten. Bei der Funktion f1 beträgt die Verschiebung 145 Einheiten, also um 10 Einheiten mehr.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135 \cr & {f_1}\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 145 \cr & \cr & {f_1}\left( t \right) = f\left( t \right) + 10 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Im Kästchen ist die Zahl 6 einzutragen
2. Teilaufgabe:
Der Parameter a beträgt 7,5
3. Teilaufgabe:
\({f_1}\left( t \right) = f\left( t \right) + 10\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x C1: für das richtige Eintragen der Zeitangabe
2. Teilaufgabe:
1 x C2: für das richtige Bestimmen von a
3. Teilaufgabe:
1 x A: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung