Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Abschnitt auf der y-Achse ist.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Darstellung von Funktionen
Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.
\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)
Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)
Funktionsgleichung
Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)
Daher nennt man
- y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
- x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument
Typen wichtiger Funktionsgleichungen
Konstante Funktion | \(f\left( x \right) = c\) |
Direkt proportionale Funktion sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen |
\(f\left( x \right) = k \cdot x\) |
Lineare Funktion | \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) |
Quadratische Funktion (Parabel) | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) |
Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel) sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen |
\(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) |
Potenzfunktion | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\) |
Wurzelfunktion | \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) |
Exponentialfunktion | \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\) |
Logarithmusfunktion | \(f\left( x \right) = {}^a\log x\) |
Periodische Funktion | \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) |
Polynomfunktion | \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\) |
uvm. |
Graph einer Funktion
Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.
\(y = f\left( x \right)\)
Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.
Wertetabelle einer Funktion
Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.
x | y=f(x) |
x1 | f(x1) |
x2 | f(x2) |
... | ... |
xi | f(xi) |
Mengendiagramm einer Funktion
Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden
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Polynomfunktionen n-ten Grades
Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.
\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)
\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)
wobei:
\(\eqalign{ & {a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0} \cr & n \in N;\,\,\,\,\,{a_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,{a_n} \ne 0 \cr} \) | Koeffizienten |
ai | i-ter Koeffizient |
n | höchste Potenz |
\({a_2} \cdot {x^2}\) | quadratisches Glied |
\({a_1} \cdot x\) | lineares Glied |
\({a_0}\) | konstantes Glied |
Die wichtigsten Polynomfunktionen:
n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)
- 0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
- 0 Extremstellen
- 0 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse
n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)
- 1 Nullstelle
- 0 Extremstellen
- 0 Wendestellen
- Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet
n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
- 0, 1 oder 2 Nullstellen
- 1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
- 0 Wendestelle
- Typischer Graph ist eine Parabel
Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.
- a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
- a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
- Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
- b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
- b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
- Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)
n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- 1, 2 oder 3 Nullstellen
- 0 oder 2 Extremstellen
- 1 Wendestelle
- Typischer Graph verläuft s-förmig
n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- 0 .. 4 Nullstellen
- 1 oder 3 Extremstellen
- 0 oder 2 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft w-förmig
Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.
- Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1
Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2
- \(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
- \(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle
konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.
Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist
- y die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
- k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
- x die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
- d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt
\(f\left( x \right) =y= kx + d\)
Homogene lineare Funktion
Bei der homogenen linearen Funktion ist d=0, daher verläuft ihr Graph durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx\)
Inhomogene lineare Funktion
Bei der inhomogenen linearen Funktion ist d≠0, daher verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx + d\)
Konstante Funktion
Bei der konstanten Funktion ist k=0, daher verläuft der Graph parallel zur x-Achse, im Abstand d. Für k=0 und d=0 entspricht der Graph der Funktion dem Verlauf der x-Achse
\(f\left( x \right) = d\)
1. bzw. 2. Mediane
Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.
Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft
Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse
Steigung k
Die Steigung einer linearen Funktion ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte y=f(x) ändern, wenn sich die Argumente x ändern. Bei positivem k steigt der Graph der Funktion an, bei negativem k fällt er im Koordinatensystem von links oben nach rechts unten. Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient.
Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)
Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.
Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:
\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=-2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)
Aufgaben
Aufgabe 1262
AHS - 1_262 & Lehrstoff: FA 2.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Celsius - Fahrenheit
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in °F (Fahrenheit) üblich. Zwischen der Temperatur x in °C und der Temperatur f(x) in °F besteht folgender Zusammenhang: \(f\left( x \right) = \dfrac{9}{5} \cdot x + 32\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die Temperatur in °C und jene in °F sind zueinander ______1_______ , da ______2_______ .
1 | |
direkt proportional | A |
indirekt proportional | B |
nicht proportional | C |
2 | |
es beispielsweise bei 320 °F genau halb so viele °C hat | I |
eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele °C weder bedeutet, dass die Temperatur auf dreimal so viele °F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel absinkt | II |
eine Zunahme um 1 °C immer eine Erwärmung um gleich viele °F bedeutet | III |
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Aufgabe 1533
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elektrischer Widerstand
Der elektrische Widerstand R eines zylinderförmigen Leiters mit dem Radius r und der Länge l kann mithilfe der Formel \(R = \rho \cdot \dfrac{l}{{{r^2} \cdot \pi }}\) berechnet werden. Der spezifische Widerstand \(\rho \) ist eine vom Material und von der Temperatur des Leiters abhängige Größe.
- Aussage 1: \(R(l) = \rho \cdot \dfrac{l}{{{r^2} \cdot \pi }}\)mit \(\rho ,r\) konstant
- Aussage 2: \(l(R) = \dfrac{R}{\rho } \cdot {r^2} \cdot \pi\) mit \(\rho ,r\) konstant
- Aussage 3: \(R(\rho ) = \rho \cdot \dfrac{l}{{{r^2} \cdot \pi }}\) mit \(l ,r\) konstant
- Aussage 4: \(R(r) = \rho \cdot \dfrac{l}{{{r^2} \cdot \pi }}\) mit \(\rho ,l\) konstant
- Aussage 5: \(l(r) = \dfrac{R}{\rho } \cdot {r^2} \cdot \pi\) mit \(R,\rho\) konstant
Aufgabenstellung:
Obenstehend werden Zusammenhänge angeführt, die aus der Formel für den elektrischen Widerstand hergeleitet werden können. Welche der nachstehend angeführten Gleichungen bestimmt/bestimmen eine lineare Funktion? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Gleichung(en) an!
Aufgabe 1100
AHS - 1_100 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Monotonie einer linearen Funktion
Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung \(y = - 2x + 4\). Auf dieser Geraden liegen die Punkte \(A = \left( {{x_A}\left| {{y_A}} \right.} \right)\) und \(B = \left( {{x_B}\left| {{y_B}} \right.} \right)\).
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn \({x_A} < {x_B}\) ist, gilt _____1______, weil die Gerade _______2_______ ist.
1 | |
\({y_A} < {y_B}\) | A |
\({y_A} = {y_B}\) | B |
\({y_A} > {y_B}\) | C |
2 | |
monoton steigend | I |
monoton fallend | II |
konstant | III |
Aufgabe 1261
AHS - 1_261 & Lehrstoff: FA 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wassertank
In einem Wassertank befinden sich 2500 Liter Wasser. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Ablasshahn geöffnet und es fließen pro Minute 35 Liter Wasser aus dem Tank.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die das Wasservolumen V (in Litern) im Tank in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) beschreibt!
Aufgabe 1009
AHS - 1_009 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion einer linearen Funktion
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Funktion f dargestellt.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie die Ableitungsfunktion f' der Funktion f ein!
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Aufgabe 1572
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionstypen
Im Folgenden sind vier Funktionsgleichungen (mit a, b ∈ ℝ+) angeführt und die Graphen von sechs reellen Funktionen dargestellt.
- Funktionsgleichung 1: \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
- Funktionsgleichung 2: \(f\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
- Funktionsgleichung 3: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
- Funktionsgleichung 4: \(f\left( x \right) = a \cdot x + b\)
- Graph A:
- Graph B:
- Graph C:
- Graph D:
- Graph E:
- Graph F:
Aufgabenstellung
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!
Aufgabe 1063
AHS - 1_063 & Lehrstoff: FA 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Temperaturskala
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in °F (Fahrenheit) üblich. Die Gerade f stellt den Zusammenhang zwischen °C und °F dar.
- Aussage 1: 160 °C entsprechen doppelt so vielen °F.
- Aussage 2: 140 °F entsprechen 160 °C.
- Aussage 3: Eine Zunahme um 1 °C bedeutet eine Zunahme um 1,8 °F.
- Aussage 4: Eine Abnahme um 1 °F bedeutet eine Abnahme um 18 °C.
- Aussage 5: Der Anstieg der Geraden ist \(k = \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}} = \dfrac{{100}}{{180}}\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Aussagen können Sie der Abbildung entnehmen? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1097
AHS - 1_097 & Lehrstoff: FA 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Werte einer linearen Funktion
Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion f. Die Gerade enthält die Punkte P = (0|1) und Q = (2|0).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Menge aller Werte x, für die gilt:\(–0,5 ≤ f(x) < 1,5\)!
Aufgabe 1438
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Modellierung
Eine lineare Funktion f wird allgemein durch eine Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) mit den Parametern \(k \in {\Bbb R}{\text{ und }}d \in {\Bbb R}\) dargestellt.
- Aussage 1: Die Gesamtkosten bei der Herstellung einer Keramikglasur setzen sich aus einmaligen Kosten von € 1.000 für die Maschine und € 8 pro erzeugtem Kilogramm Glasur zusammen. Stellen Sie die Gesamtkosten für die Herstellung einer Keramikglasur in Abhängigkeit von den erzeugten Kilogramm Glasur dar!
- Aussage 2: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn einer Messung aus 20 000 Bakterien. Die Anzahl der Bakterien verdreifacht sich alle vier Stunden. Stellen Sie die Anzahl der Bakterien in dieser Kultur in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit (in Stunden) dar!
- Aussage 3: Die Anziehungskraft zweier Planeten verhält sich indirekt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Planeten. Stellen Sie die Abhängigkeit der Anziehungskraft zweier Planeten von ihrem Abstand dar!
- Aussage 4: Ein zinsenloses Wohnbaudarlehen von € 240.000 wird 40 Jahre lang mit gleichbleibenden Jahresraten von € 6.000 zurückgezahlt. Stellen Sie die Restschuld in Abhängigkeit von der Anzahl der vergangenen Jahre dar!
- Aussage 5: Bleibt in einem Stromkreis die Spannung konstant, so ist die Leistung direkt proportional zur Stromstärke.Stellen Sie die Leistung im Stromkreis in Abhängigkeit von der Stromstärke dar!
Aufgabenstellung:
Welche der oben angegebenen Aufgabenstellungen kann / können mithilfe einer linearen Funktion modelliert werden? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aufgabenstellung(en) an!
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Aufgabe 1260
AHS - 1_260 & Lehrstoff: FA 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Charakteristische Eigenschaft
Aufgabenstellung
Geben Sie den Term einer Funktion f an, welche die Eigenschaft \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 5\) erfüllt!
Aufgabe 1018
AHS - 1_018 & Lehrstoff: FA 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Charakteristische Eigenschaften einer linearen Funktion
Gegeben ist eine reelle Funktion f mit \(f\left( x \right) = 3x + 2\)
- Aussage 1: \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 3\)
- Aussage 2: \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 2\)
- Aussage 3: \(f\left( {x + 1} \right) = 3 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 4: \(f\left( {x + 1} \right) = 2 \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 5: \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = 3 \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right){\text{ wobei }}{x_1},\,\,\,{x_2} \in \mathbb{R}{\text{ und }}{x_1} \ne {x_2}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Eigenschaften an, die auf die Funktion f zutreffen!
Aufgabe 1136
AHS - 1_136 & Lehrstoff: FA 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Modellierung mittels linearer Funktionen
Reale Sachverhalte können durch eine lineare Funktion \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) mathematisch modelliert werden.
- Aussage 1: Der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit von der Zeit bei einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von 30 km/h
- Aussage 2: Die Einwohnerzahl einer Stadt in Abhängigkeit von der Zeit, wenn die Anzahl der Einwohner/innen in einem bestimmten Zeitraum jährlich um 3 % wächst
- Aussage 3: Der Flächeninhalt eines Quadrates in Abhängigkeit von der Seitenlänge
- Aussage 4: Die Stromkosten in Abhängigkeit von der verbrauchten Energie (in kWh) bei einer monatlichen Grundgebühr von € 12 und Kosten von € 0,4 pro kWh
- Aussage 5: Die Fahrzeit in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit für eine bestimmte Entfernung
Aufgabenstellung:
In welchen Sachverhalten ist eine Modellierung mittels einer linearen Funktion sinnvoll möglich? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Sachverhalte an!