Aufgabe 1260
AHS - 1_260 & Lehrstoff: FA 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Charakteristische Eigenschaft
Aufgabenstellung
Geben Sie den Term einer Funktion f an, welche die Eigenschaft \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 5\) erfüllt!
Lösungsweg
Wir erstellen eine Wertetabelle, wobei wir willkürlich festlegen, dass der Punkt \(P\left( {1\left| 5 \right.} \right)\) auf der Funktion f(x) liegt:
f(x) | f(x+1) | f(x+1+1) |
f(x=1)=5 | f(1+1)=5+5→f(2)=10 | f(2+1)=10+5→f(3)=15 |
\(P\left( {1\left| 5 \right.} \right)\) | \(P\left( {2\left| {10} \right.} \right)\) | \(P\left( {3\left| {15} \right.} \right)\) |
Wir zeichnen die 3 Punkte in ein Koordinatensystem und sehen, dass sie die Geradengleichung y=kx+d mit k=5 und d=c erfüllen: \(y = f\left( x \right) = 5 \cdot x + c\)
Wenn wir mit einem beliebigen anderen Punkt gestartet hätten - zB mit \(P\left( {3\left| 3 \right.} \right)\) - hätten wir lediglich eine parallel verschobene Gerade, mit der gleiche Steigung k=5, erhalten:
f(x) | f(x+1) | f(x+1+1) |
f(x=3)=3 | f(3+1)=3+5→f(4)=8 | f(4+1)=8+5→f(5)=13 |
\(P\left( {3\left| 3 \right.} \right)\) | \(P\left( {4\left| {8} \right.} \right)\) | \(P\left( {5\left| {13} \right.} \right)\) |
Wir zeichnen auch diese 3 Punkte in obiges Koordinatensystem und sehen, dass sie ebenfalls die Geradengleichung y=kx+d mit k=5 und d=c erfüllen: \(y = f\left( x \right) = 5 \cdot x + c\), lediglich der Wert von c ist unterschiedlich (0, bzw. -12).
Wir haben somit die Lösung für f(x) gefunden zu: \(f\left( x \right) = 5x + c\) mit beliebigen Wert von c
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = 5x + c\) mit beliebigen Wert von c
Lösungsschlüssel:
Alle Terme, die eine lineare Funktion mit k = 5 beschreiben, sind als richtig zu werten.