Bayern Mathematik Abitur 2015 - Prüfungsteil A+B - ohne CAS - Gruppe 1

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \left( {{x^3} - 8} \right) \cdot \left( {2 + \ln x} \right)\) mit maximalem Definitionsbereich D.

1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie D an.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Nullstellen von f

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Graph und Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen

Gegeben sind die in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen f, g und h mit

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 \cr & g\left( x \right) = {x^3} - x + 1 \cr & h\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 1 \cr} \)

Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.

Bild

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

Die erste Ableitungsfunktion von h ist h‘.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} \).

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Parameter von Funktionen

1. Teilaufgabe a) 1 BE - 140 Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {ax} \right)\) eine Nullstelle in \(x = \dfrac{\pi }{6}\)  hat.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion \(g:x \mapsto \sqrt {{x^2} - b} \)  den maximalen Definitionsbereich \({\Bbb R}\backslash \left] { - 2;2} \right[\)  besitzt.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie, dass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(h:c \mapsto 4 - {e^x}\) den Wertebereich \(\left] { - \infty ;4} \right[\) besitzt.

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Newtonsches Näherungsverfahren

Die nachfolgende Abbildung 

zeigt den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten differenzierbaren Funktion

\(g:x \mapsto g\left( x \right)\)

Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g ermittelt werden.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

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Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6{\text{ und }}x \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2 | 0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3 | 2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Gleichung von h an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

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Bernoullikette

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit p beschrieben.

1. Teilaufgabe a.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt.

• Aussage A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
• Aussage B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

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Produktregel für mehrstufige Zufallsexperimente

Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt.

1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.

Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite einer der Politiker sitzen soll.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(0 |1| 2) und B(2 | 5 | 6).

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie, dass die Punkte A und B den Abstand 6 haben.

Die Punkte C und D liegen auf g und haben von A jeweils den Abstand 12.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.

Die Punkte A, B und E(1| 2 | 5) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

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Betrachtet wird die Pyramide ABCDS mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 4 | 2) , C(8 | 0 | 2), D(4 | -4 | 0) und S(1|1| -4) . Die Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm.

Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist.

Die Kante \(\left[ {AS} \right]\) senkrecht auf der Grundfläche ABCD. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24 \cdot \sqrt 2 \)

Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\).

Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeigen Sie, dass f (x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

• Term 1: \(\dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 3} \right)}}\)
   
• Term 2: \(\dfrac{2}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
   
• Term 3: \(\dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}}\)

2. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G_f ist.

3. Teilaufgabe b.2) 1 BE - Bearbeitungszeit:2:20

Geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G_f an.

4. Teilaufgabe b.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse.

Die nachfolgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion 

\(p:x \mapsto 0,5 \cdot {\left( {x + 2} \right)^2} - 0,5\),  die die Nullstellen x=- 3 und x=-1 hat.

Für \(x \in {D_f}{\text{ gilt }}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}}\)

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f‘ und p‘ die Beziehung

\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right)}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}}{\text{ für x}} \in {{\text{D}}_f}\)

5. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f‘ ist.

6. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass G_f in \(\left] { - 3;2} \right[\) streng monoton steigend ist

7. Teilaufgabe c.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass G_f in \(\left] { - 2; - 1} \right[\) streng monoton fallend ist.

8. Teilaufgabe c.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie Lage des Extrempunkts von G_f an.

Geben Sie Art des Extrempunkts von G_f an.

9. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Berechnen Sie f (-5) und f (-1,5)

10. Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie G_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

Abbildung 1 zeigt den Graphen G_h von h.

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 0\) gilt.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie rechnerisch für \(x \in {D_h}\) dass für die Ableitung h‘ von h gilt: \(h'\left( x \right) < 0\)

Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion

\({H_0} = x \mapsto \int\limits_0^x {h\left( t \right)} \,\,dt\).

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H₀ ist streng monoton steigend.

4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H₀ ist rechts gekrümmt

5. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Nullstelle von H₀ an.

6. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

 Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe der Abbildung die Funktionswerte H₀ (-0,5) sowie H₀ (3) .

7. Teilaufgabe c.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von H₀ im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 3\)

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion 

\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)

stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion  \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang  \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\)  verwenden.

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.