Aufgabe 6003
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Newtonsches Näherungsverfahren
Die nachfolgende Abbildung
zeigt den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten differenzierbaren Funktion
\(g:x \mapsto g\left( x \right)\)
Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g ermittelt werden.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Das newtonsche Näherungsverfahren ist eine Methode zur numerischen oder graphischen Bestimmung von Nullstellen. Die Iterationsformel lautet:
\({x_{i + 1}} = {x_i} - \dfrac{{f\left( {{x_i}} \right)}}{{f'\left( {{x_i}} \right)}}\)
- Beim numerischen newtonschen Näherungsverfahren eignen sich Hoch- und Tiefpunkte nicht als Startwert, da sonst der Nenner f'(x), auf Grund der horizontalen Tangente im Extremwert, welche die Steigung 0 hat, zu null wird.
Oder:
- Beim grafischen newtonschen Näherungsverfahren wird der Kurvenbogen durch eine Tangente Tg1 in einem geeignet gewählten Näherungswert x1 der Nullstelle ersetzt. Dort wo die Tangente Tg1 die x-Achse schneidet, wird erneut ein Näherungswert x2 bestimmt. Die nächste Näherung x3 wird mittels der Tangente Tg2 bestimmt.
Wählt man aber ausgerechnet einen Hoch- oder Tiefpunkt so verläuft dessen Tangente parallel zur x-Achse und man bekommt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse mit dem man weiterarbeiten könnte.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- Beim numerischen newtonschen Näherungsverfahren eignen sich Hoch- und Tiefpunkte nicht als Startwert, da sonst der Nenner f'(x), auf Grund der horizontalen Tangente im Extremwert, welche die Steigung 0 hat, zu null wird.
Oder:
- Beim grafischen newtonschen Näherungsverfahren wird der Kurvenbogen durch eine Tangente Tg1 in einem geeignet gewählten Näherungswert x1 der Nullstelle ersetzt. Dort wo die Tangente Tg1 die x-Achse schneidet, wird erneut ein Näherungswert x2 bestimmt. Die nächste Näherung x3 wird mittels der Tangente Tg2 bestimmt.
Wählt man aber ausgerechnet einen Hoch- oder Tiefpunkt so verläuft dessen Tangente parallel zur x-Achse und man bekommt keinen Schnittpunkt mit der x-Achse mit dem man weiterarbeiten könnte.