Laplace Wahrscheinlichkeit
Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgängen zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten
Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissenführt. Dabei ist das zeitlich jeweils nächste Ergebnis unabhängig von den zeitlich vorhergehenden Ergebnissen.
Ergebnismenge \(\Omega\)
Ein Ergebnis ist der spezifische Ausgang von einem Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge, auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse Ai eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.
\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)
- Ergebnis eines einmaligen Würfelwurfs: "2 Augen"
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Wurf einer Münze ist \(\Omega = \left\{ {{\rm{Kopf;Zahl}}} \right\}\)
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln mit 2 Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);...;\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);....\left( {6;6} \right)} \right\}\)
Ereignismenge \(P\left( \Omega \right)\)
Ereignismengen, auch Ereignisräume genannt, sind Teilmengen der Ergebnismenge.
\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)
Beispiel Würfel:
- Ergebnismenge: \(\Omega = \left\{ {{1},{2},...,{6}} \right\}\)
- Ereignismenge "nur" die gerade Augenzahl: \(P\left( \Omega \right) = \left\{ {2;4;6} \right\}\)
Elementarereignis
Das Elementarereignis Ai ist eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) mit genau einem Element.
\({A_i} \in \Omega\)
Zur Veranschaulichung:
Wirft man einen Würfel, so umfasst die Ergebnismenge \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) genau 6 Elementarereignisse : 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen
Gegenereignis
Das Gegenereignis A‘ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Alle Elemente des Ereignisses A und seines Gegenereignisses A‘ ergeben zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\).
\(A' + A = \Omega\)
Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \). Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang:
\(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich der Eintritt eines Ereignisses ist. Bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments tritt eine Abfolge von einzelnen Elementarereignissen Ai auf. Man kann zwar nicht vorhersagen genau welches Elementarereignis als nächstes auftritt, aber man kann eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Elementarereignis im Vergleich zu den anderen Elementarereignissen auftritt. Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace P(A)=P(X=x) leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses, im Verhältniss zur Häufigkeit aller Elementarereignisse ab.
| \(0 \leqslant P\left( A \right) \leqslant 1\) | Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein beliebiges Elementarereignis eintritt, muss zwischen 0 und 1 liegen |
| \(P\left( \Omega \right) = 1\) | Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Elementarereignisse eintreten, muss 1 sein. |
Gleichwahrscheinlichkeit
Eine Gleichwahrscheinlichkeit liegt vor, wenn jedes der n Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/n hat.
Unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A)
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses ist, unabhängig von irgend welchen Vorbedingungen.
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Nieder, weil es nur ca. 30 derartige Hitzetage pro Jahr gibt.
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B│A)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen
\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)
Obige Formel ist lediglich die umformulierte Multiplikationsregeln für Wahrscheinlichkeiten ("Und Regel").
Beispiel: Heute wird in Wien eine Temperatur von 35° C gemessen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Hoch, da sich die Klimalage nur alle paar Tage verändert.
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Gegenwahrscheinlichkeit vom Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt. Oft ist es einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit von einem Ereignis auszurechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst zurückzurechnen.
\(\eqalign{ & P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) \cr & P\left( A \right) = 1 - P\left( {A'} \right) \cr}\)
Anmerkung zur Notation:
\(P\left( {A'} \right) = P\left( {\neg A} \right)\)
Bernoulli Experiment
Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches
- genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete.
- Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 bzw. 0,5 sein. Die Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit ("günstige" durch "mögliche") gilt auch für Bernoulli Experimente, da diese ja nur ein Sonderfall vom Laplace Experiment sind.
Beispiel: gerade und ungerade Tage im Jänner:
Jeder Tag muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage.
\(\eqalign{ & P\left( {X = {\text{gerader Tag}}} \right) = \dfrac{{15}}{{31}} \cr & P\left( {X = {\text{ungerader Tag}}} \right) = \dfrac{{16}}{{31}} \cr} \)
Gegenwahrscheinlichkeiten in einem Bernoulli Experiment
Wenn in einem Bernoulli Experiment p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, man nennt dies die Gegenwahrscheinlichkeit.
Laplace Experiment
Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. Man spricht dann von der Laplace Wahrscheinlichkeit.
Beispiel für ein Laplace Experiment: Würfelwurf; Es gibt 6 mögliche Elementarereignisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen
Laplace Wahrscheinlichkeit
Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)
wobei: \(0 \leqslant P\left( E \right) \leqslant 1{\text{ und }}P\left( 0 \right) = 0{\text{ sowie P}}\left( \Omega \right) = 1\)
| E | Ereignisse A, B |
| P(A) | Wahrscheinlichkeit für das Eintreten vom Ereignis A |
| P(A)=1 | Das Ereignis tritt sicher ein |
| P(A)=0 | Das Ereignis tritt sicher nicht ein |
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Aufgaben
Aufgabe 6010
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Produktregel für mehrstufige Zufallsexperimente
Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt.
1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.
Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite einer der Politiker sitzen soll.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.
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Aufgabe 6011
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Binomialverteilte Zufallsgröße
In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen“ berechnet werden kann.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.
- Aussage 1: \(1 - {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8}\)
- Aussage 2: \({\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8} + 8 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^7}\)
Aufgabe 1144
AHS - 1_144 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel
Ein idealer sechsseitiger Würfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 wird einmal geworfen.
| A | 1/3 |
| B | 1/6 |
| C | 1/2 |
| D | 1 |
| E | 5/6 |
| F | 2/3 |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Fragestellungen in der linken Spalte die passenden Wahrscheinlichkeiten (aus A bis F) in der rechten Spalte zu!
- Fragestellung 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird?
- Fragestellung 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 gewürfelt wird?
- Fragestellung 3: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird.
- Fragestellung 4: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 1 und kleiner als 6 gewürfelt wird?
Aufgabe 1185
AHS - 1_185 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Laplace-Experiment
In einer Schachtel befinden sich rote, blaue und gelbe Wachsmalstifte. Ein Stift wird zufällig entnommen, dessen Farbe notiert und der Stift danach zurückgelegt. Dann wird das Experiment wiederholt. Beobachtet wird, wie oft bei zweimaligem Ziehen ein gelber Stift entnommen wurde. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl x der gezogenen gelben Stifte. Die nachstehende Tabelle stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X dar.
| x | P(X=x) |
| 0 | \(\dfrac{4}{9}\) |
| 1 | \(\dfrac{4}{9}\) |
| 2 | \(\dfrac{1}{9}\) |
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, nur rote oder blaue Stifte zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, keinen oder einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein gelber Stift gezogen wird, ist größer als 10 %.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1186
AHS - 1_186 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Laplace-Wahrscheinlichkeit
In einer Schachtel befinden sich ein roter, ein blauer und ein gelber Wachsmalstift. Ein Stift wird zufällig entnommen, dessen Farbe notiert und der Stift danach zurückgelegt. Dann wird das Experiment wiederholt. Beobachtet wird, wie oft bei zweimaligem Ziehen ein gelber Stift entnommen wurde. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der gezogenen gelben Stifte.
- Aussage 1: \(P\left( {X = 0} \right) > P\left( {X = 1} \right)\)
- Aussage 2: \(P\left( {X = 2} \right) = \dfrac{1}{9}\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \leqslant 2} \right) = \dfrac{8}{9}\)
- Aussage 4: \(P\left( {X > 0} \right) = \dfrac{5}{9}\)
- Aussage 5: \(P\left( {X < 3} \right) = 1\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1233
AHS - 1_233 & Lehrstoff: WS 2.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reißnagel
Wenn man einen Reißnagel fallen lässt, bleibt dieser auf eine der beiden dargestellten Arten liegen.
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie eine Methode, wie man die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle herausfinden kann!
Aufgabe 1236
AHS - 1_236 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reihenfolge
Für eine Abfolge von fünf verschiedenen Bildern gibt es nur eine richtige Reihung. Diese Bilder werden gemischt und, ohne sie anzusehen, in einer Reihe aufgelegt.
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (in %) dafür, dass die richtige Reihenfolge erscheint!
Aufgabe 1424
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Augensumme beim Würfeln
Zwei unterscheidbare, faire Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden gleichzeitig geworfen und die Augensumme wird ermittelt. Das Ereignis, dass die Augensumme durch 5 teilbar ist, wird mit E bezeichnet. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflachen gleich groß ist.)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E!
Aufgabe 1496
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zufallsvariable
Nachstehend sind die sechs Seitenflächen eines fairen Spielwürfels abgebildet. Auf jeder Seitenfläche sind drei Symbole dargestellt. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.)
- 1. Seitenfläche:
- 2. Seitenfläche:
- 3. Seitenfläche:
- 4. Seitenfläche:
- 5. Seitenfläche:
- 6. Seitenfläche:
Aufgabenstellung:
Bei einem Zufallsversuch wird der Würfel einmal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sterne auf der nach oben zeigenden Seitenfläche. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an, d. h. die möglichen Werte von X samt zugehöriger Wahrscheinlichkeiten!
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Aufgabe 1498
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt
Im Jahr 2014 wurden in Österreich 42 162 Buben und 39 560 Mädchen geboren.
Aufgabenstellung:
Geben Sie anhand dieser Daten einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit P an, dass ein in Österreich geborenes Kind ein Mädchen ist!
Aufgabe 1585
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit
In einer Fabrik wird mithilfe einer Maschine ein Produkt erzeugt, von dem jeweils 100 Stück in eine Packung kommen. Im Anschluss an eine Neueinstellung der Maschine werden drei Packungen erzeugt. Diese Packungen werden kontrolliert und es wird die jeweilige Anzahl darin enthaltener defekter Stücke ermittelt. Die Ergebnisse dieser Kontrollen sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst.
| in der ersten Packung | 6 defekte Stücke |
| in der zweiten Packung | 3 defekte Stücke |
| in der dritten Packung | 4 defekte Stücke |
Die Fabriksleitung benötigt einen auf dem vorliegenden Datenmaterial basierenden Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p, dass ein von der neu eingestellten Maschine erzeugtes Stück fehlerhaft ist.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen möglichst zuverlässigen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p an, dass ein von der neu eingestellten Maschine erzeugtes Stück fehlerhaft ist!
p=?
Aufgabe 1682
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Jetons
In zwei Schachteln befindet sich Spielgeld.
- In Schachtel I sind fünf 2-Euro-Jetons und zwei 1-Euro-Jetons.
- In Schachtel II sind vier 2-Euro-Jetons und fünf 1-Euro-Jetons.
Aus jeder der beiden Schachteln wird unabhängig voneinander je ein Jeton entnommen. Dabei hat pro Schachtel jeder Jeton die gleiche Wahrscheinlichkeit, entnommen zu werden.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach der Entnahme der beiden Jetons in beiden Schachteln der gleiche Geldbetrag vorhanden ist!