Aufgabe 6010
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Produktregel für mehrstufige Zufallsexperimente
Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt.
1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.
Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite einer der Politiker sitzen soll.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Moderator sitzt bereits, wobei es egal ist wo er sitzt.
- Für 3+1+2=6 Gäste gibt es 6 Sitzplätze.
- Für den 1. Gast gibt es 6 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 2. Gast gibt es 5 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 3. Gast gibt es 4 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 4. Gast gibt es 3 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 5. Gast gibt es 2 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 6. Gast gibt es 1 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
Es kommt die Produktregel für mehrstufige Zufallsexperimente zur Anwendung:
Der gesuchte Term lautet:
\(\dfrac{6}{1} \cdot \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{1} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6!\)
Es gibt 6! mögliche Sitzordnungen.
Achtung: Es soll ein Term für die Anzahl der möglichen Sitzordnungen angegeben werden und nicht die Anzahl der möglichen Sitzordnungen. Daher ist 6! der gesuchte Term und nicht 720.
2. Teilaufgabe:
- Für die Journalistin gibt es 2 Möglichkeiten sich neben den Moderator zu setzen: links oder rechts von ihm: 2 „günstige“ und 1 „möglicher“ Sitzplatz
- Für die 3 Politiker gibt es 3 Möglichkeiten sich auf den verbleibenden Platz neben dem Moderator zu setzen. Politiker A, B oder C setzt sich auf den Platz.
- Für die verbleibenden 2 Politiker und die 2 Mitglieder der Bürgerinitiative, also 4 Gäste, gilt:
- Für den 1. Gast gibt es 4 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 2. Gast gibt es 3 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 3. Gast gibt es 2 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
- Für den 4. Gast gibt es 1 „günstige“ und 1 „möglichen“ Sitzplatz
\(\dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = 4!\)
In Summe somit:
\(2 \cdot 3 \cdot 4! = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 144\)
Es gibt 144 mögliche Sitzordnungen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Es gibt 6! mögliche Sitzordnungen.
2. Teilaufgabe:
Es gibt 144 mögliche Sitzordnungen.