Aufgabe 6009
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Bernoullikette
Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit p beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt.
- Aussage A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
- Aussage B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Binomialverteilte Zufallsgröße: Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die bernoullische Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments - einer sogenannten Bernoulli-Kette - an. Dabei ist für jeden einzelnen der k Treffer, p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und (1-p) die Wahrscheinlichkeit für eine Niete. Die einzelnen Teilexperimente müssen voneinander unabhängig sein. Jedes Einzelexperiment darf nur zwei mögliche Ausgänge haben.
Formel von Bernoulli für Bernoulli-Ketten
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
- Aussage A:
n= 5 Schüsse; k=4 Treffer; p=Trefferwahrscheinlichkeit;
Es ist egal in welcher Reihenfolge die Treffer und die Niete auftritt
\(\begin{array}{l} P\left( A \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{5 - 4}}\\ P\left( A \right) = 5 \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) \end{array}\)
- Aussage B:
5 Schüsse; 2 Treffer; 3 Nieten;
Es ist entscheidend, dass zuerst 2 Treffer und danach 3 Nieten auftreten.- Die Wahrscheinlichkeit für 2 Treffer in Folge ist p²
- Die Wahrscheinlichkeit für 3 Nieten in Folge ist (1-p)³
\(P\left( B \right) = {p^2} \cdot {\left( {1 - p} \right)^3}\)
2. Teilaufgabe:
Voraussetzung für eine Bernoullikette ist, dass die einzelnen Teilexperimente voneinander unabhängig sein müssen. Das wird in der Praxis bei einem Wettbewerb nicht der Fall sein, da ein Treffer beruhigend und eine Niete beunruhigend auf den Schützen wirkt und somit der vorherige Schuss die Trefferwahrscheinlichkeit p des nachfolgenden Schusses beeinflusst.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- Aussage A: \(P\left( A \right) = 5 \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right)\)
- Aussage B: \(P\left( B \right) = {p^2} \cdot {\left( {1 - p} \right)^3}\)
2. Teilaufgabe
Voraussetzung für eine Bernoullikette ist, dass die einzelnen Teilexperimente voneinander unabhängig sein müssen. Das wird in der Praxis bei einem Wettbewerb nicht der Fall sein, da ein Treffer beruhigend und eine Niete beunruhigend auf den Schützen wirkt und somit der vorherige Schuss die Trefferwahrscheinlichkeit p des nachfolgenden Schusses beeinflusst.