Aufgabe 6013
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(0 |1| 2) und B(2 | 5 | 6).
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie, dass die Punkte A und B den Abstand 6 haben.
Die Punkte C und D liegen auf g und haben von A jeweils den Abstand 12.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.
Die Punkte A, B und E(1| 2 | 5) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.
3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir bilden den Verbindungsvektor zwischen A und B und berechnen dann dessen Betrag:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 5\\ 6 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 0}\\ {5 - 1}\\ {6 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4\\ 4 \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2} + {4^2}} = \sqrt {36} = 6\,\,\,\,\,{\rm{wzbw}} \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Wir nehmen den Punkt A als Ausgangspunkt und wenden die Append Regel an:
\(Q = P + \overrightarrow v \)
Somit:
\(\begin{array}{l} C = A + 2 \cdot \overrightarrow {AB} = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 2 \end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4\\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 + 2 \cdot 2}\\ {1 + 2 \cdot 4}\\ {2 + 2 \cdot 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 9\\ {10} \end{array}} \right)\\ \\ D = A - 2 \cdot \overrightarrow {AB} = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 2 \end{array}} \right) - 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4\\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0 - 2 \cdot 2}\\ {1 - 2 \cdot 4}\\ {2 - 2 \cdot 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 7}\\ { - 6} \end{array}} \right) \end{array}\)
3. Teilaufgabe:
Wir kennen 3 Punkte eines Rechtecks und sollen 2 Möglichkeiten für die Lage des 4. Punkts Fx bestimmen.
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1\\
2
\end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
5\\
6
\end{array}} \right);\,\,\,\,\,E\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
5
\end{array}} \right)\)
Es gibt folgende 6 einfache Möglichkeiten die gesuchten Punkte Fx durch die Addition von 2 Vektoren zu berechnen:
\(\begin{array}{l}
{F_1} = A + \overrightarrow {BE} = E + \overrightarrow {BA} \\
{F_2} = A + \overrightarrow {EB} = B + \overrightarrow {EA} \\
{F_2} = B + \overrightarrow {AE} = E + \overrightarrow {AB}
\end{array}\)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Bild
\(\begin{array}{l}
{F_1} = A + \overrightarrow {BE} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1\\
2
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
5
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
5\\
6
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 + 1 - 2}\\
{1 + 2 - 5}\\
{2 + 5 - 6}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
{ - 2}\\
1
\end{array}} \right)\\
\\
{F_2} = A + \overrightarrow {EB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1\\
2
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
5\\
6
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
5
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 + 2 - 1}\\
{1 + 5 - 2}\\
{2 + 6 - 5}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
4\\
3
\end{array}} \right)\\
\\
{F_2} = B + \overrightarrow {AE} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
5\\
6
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
2\\
5
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
1\\
2
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + 1 - 0}\\
{5 + 2 - 1}\\
{6 + 5 - 2}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
6\\
9
\end{array}} \right)
\end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2} + {4^2}} = \sqrt {36} = 6\,\,\,\,\,{\rm{wzbw}}\)
2. Teilaufgabe:
\(C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
9\\
{10}
\end{array}} \right);\,\,\,\,\,D = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
{ - 7}\\
{ - 6}
\end{array}} \right)\)
3. Teilaufgabe:
\({F_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
{ - 2}\\
1
\end{array}} \right);\,\,\,\,\,{F_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
4\\
3
\end{array}} \right);\,\,\,\,\,{F_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
6\\
9
\end{array}} \right)\)