Addition zweier Vektoren
Bei der Addition von Vektoren werden je Achsenrichtung die einzelnen Komponenten der Vektoren addiert.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Vektoralgebra
Die Vektoralgebra beschäftigt sich mit den Grundrechenregeln für Vektoren
Addition zweier Vektoren
Bei der Addition von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung addiert. Zwei Vektoren werden graphisch addiert, \(\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b\) indem man die Vektoren aneinander hängt. Der Summenvektor \(\overrightarrow s\) stellt die Diagonale eines durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms dar.
\(\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} + {b_x}}\\ {{a_y} + {b_y}}\\ {{a_z} + {b_z}} \end{array}} \right)\)
Rechenregeln für die Vektoraddition
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \\ \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \\ k \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k \cdot \overrightarrow a + k \cdot \overrightarrow b \\ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \end{array}\)
Illustration zur Addition zweier Vektoren
Subtraktion zweier Vektoren
Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung subtrahiert. Zwei Vektoren werden graphisch subtrahiert, \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b\) indem man den inversen Vektor von \(\overrightarrow b\) (gleich lang wie b, aber umgekehrte Richtung), also – b, addiert. Das Resultat einer Vektorsubtraktion wird als Differenzvektor bezeichnet.
\(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} - {b_x}}\\ {{a_y} - {b_y}}\\ {{a_z} - {b_z}} \end{array}} \right)\)
Illustration zur Subtraktion zweier Vektoren
Kommutativgesetz der Vektoralgebra
Das Kommutativgesetz der Vektoralgebra besagt, dass bei der Addition von Vektoren die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf.
\(\overrightarrow A + \overrightarrow B = \overrightarrow B + \overrightarrow A \)
Distributivgesetze der Vektoralgebra
Das Distributivgesetz der Vektoralgebra besagt, dass man reelle Zahlen aus einer Summe heraushaben kann, wenn bei dieser Summe ein und der selbe Vektor mit unterschiedlichen reellen Zahlen multipliziert wird.
\(\eqalign{ & m\left( {n\overrightarrow A } \right) = \left( {mn} \right)\overrightarrow A = n\left( {m\overrightarrow A } \right) \cr & \left( {m + n} \right)\overrightarrow A = m\overrightarrow A + n\overrightarrow A \cr & m\left( {\overrightarrow A + \overrightarrow B } \right) = m\overrightarrow A + m\overrightarrow B \cr} \)
Assoziativgesetz der Vektoralgebra
Das Assoziativgesetz der Vektoralgebra besagt, dass bei der Addition von Vektoren die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen.
\(\overrightarrow A + \left( {\overrightarrow B + \overrightarrow C } \right) = \left( {\overrightarrow A + \overrightarrow B } \right) + \overrightarrow C \)
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Aufgaben
Aufgabe 85
Addition von Vektoren
Stelle die beiden gegebenen Vektoren als Pfeile von einem gemeinsamen Ausgangspunkt dar. Berechne und konstruiere dann den gefragten Vektor.
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right);\)
Gesucht: \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)
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Aufgabe 89
Addition von Vektoren
Addiere die beiden Vektoren
\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ 2 \cr 1 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 1 \cr 3 \cr } } \right); \cr & \overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr}\)
Aufgabe 92
Skalieren eines Vektors
Addiere die beiden Vektoren
\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ 2 \cr 1 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 1 \cr 3 \cr } } \right); \cr & \overrightarrow c = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ; \cr}\)
Aufgabe 1617
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kräfte
An einem Massenpunkt M greifen drei Kräfte an. Diese sind durch die Vektoren \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b {\text{ und }}\overrightarrow c\) gegeben.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung einen Kraftvektor \(\overrightarrow d \) so ein, dass die Summe aller vier Kräfte (in jeder Komponente) gleich null ist!
Aufgabe 1489
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoraddition
Die unten stehende Abbildung zeigt zwei Vektoren \(\overrightarrow {{v_1}}\) und \(\overrightarrow v\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie in der Abbildung einen Vektor \(\overrightarrow {{v_2}}\) so, dass \(\overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} = \overrightarrow v \) ist!
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Aufgabe 1570
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren in der Ebene
Die unten stehende Abbildung zeigt zwei Vektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\)
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie in die Abbildung einen Vektor \(\overrightarrow c \) so ein, dass die Summe der drei Vektoren den Nullvektor ergibt, also \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\) gilt.
Aufgabe 1443
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren
In der unten stehenden Abbildung sind die Vektoren \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b {\rm{ und }}\overrightarrow c \) als Pfeile dargestellt.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie den Vektor \(\overrightarrow d = \overrightarrow a + \overrightarrow b - 2 \cdot \overrightarrow c \) als Pfeil dar!
Aufgabe 1213
AHS - 1_213 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reslutierende Kraft
Drei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) lassen sich durch eine einzige, am selben Punkt angreifende resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) ersetzen, die alleine dieselbe Wirkung ausübt, wie es \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) zusammen tun. Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\) .
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie grafisch die resultierende Kraft \(\overrightarrow F\) als Summe der Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}}\)
Aufgabe 1074
AHS - 1_074 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren in einem Quader
Die Grundfläche ABCD des dargestellten Quaders liegt in der xy-Ebene. Festgelegt werden die Vektoren \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ;\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} ;{\text{ und }}\overrightarrow c = \overrightarrow {AE}\)
- Aussage 1: \(\overrightarrow {TC} = t \cdot \overrightarrow c\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {AR} = t \cdot \overrightarrow a\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow {EG} = s \cdot \overrightarrow a + t \cdot \overrightarrow b\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow {BT} = s \cdot \overrightarrow a + t \cdot \overrightarrow b\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow {TR} = s \cdot \overrightarrow b + t \cdot \overrightarrow c\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Darstellungen ist/ sind möglich, wenn \(s,\,\,t \in \mathbb{R}\) gilt? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n)
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Aufgabe 1073
AHS - 1_073 & Lehrstoff: AG 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rechnen mit Vektoren
Gegeben sind die Vektoren \(\overrightarrow r ,\,\,\overrightarrow s {\text{ und }}\overrightarrow t \)
- Aussage 1: \(\overrightarrow t + \overrightarrow s + \overrightarrow r = \overrightarrow 0\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow t + \overrightarrow s = - \overrightarrow r \)
- Aussage 3: \(\overrightarrow t - \overrightarrow s = \overrightarrow r \)
- Aussage 4: \(\overrightarrow t - \overrightarrow r = \overrightarrow s \)
- Aussage 5: \(\overrightarrow t = \overrightarrow s + \overrightarrow r \)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für diese Vektoren zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1515
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren
In der Ebene werden auf einer Geraden in gleichen Abständen nacheinander die Punkte A, B, C und D markiert. Es gilt also: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD} \)
Die Koordinaten der Punkte A und C sind bekannt. \(A = \left( {\left. 3 \right|1} \right);\,\,\,\,\,C = \left( {7\left| 8 \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Koordinaten von D!
Aufgabe 1212
AHS - 1_212 & Lehrstoff: AG 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallelogramm
Im dargestellten Parallelogramm ABCD teilt der Punkt F die Seite BC im Verhältnis 1 : 2.
Aufgabenstellung:
Drücken Sie den Vektor \(\overrightarrow {FD}\) durch die Vektoren \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}\) und \(\overrightarrow b = \overrightarrow {BC}\) aus!