Aufgabe 6000
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \left( {{x^3} - 8} \right) \cdot \left( {2 + \ln x} \right)\) mit maximalem Definitionsbereich D.
1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie D an.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Nullstellen von f
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die gegebene Funktion ist das Produkt einer Polynomfunktion und einer Funktion mit dem natürlichen Logarithmus. Polynomfunktionen sind in \({\Bbb R}\) definiert. Logarithmusfunktionen sind nur für den Bereich x>0 definiert, also für den Bereich \({{\Bbb R}^ + }\).
Der Definitionsbereich umfasst die positiven reellen Zahlen:
\(D = {{\Bbb R}^ + }\)
2. Teilaufgabe:
Die gegebene Funktion ist ein Produkt aus 2 Faktoren:
\(\left( {{x^3} - 8} \right) \cdot \left( {2 + \ln x} \right) = 0\)
Ein Produkt ist dann null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist. Wir untersuchen daher den 1. und den 2. Klammerausdruck wie folgt:
1. Klammerausdruck:
\(\eqalign{ & {x^3} - 8 = 0\,\,\,\,\,\left| { + 8\,\,\,\,\,\left| {\root 3 \of {} } \right.} \right. \cr & x = \root 3 \of 8 = 2 \cr & {x_1} = 2 \cr} \)
2. Klammerausdruck:
\(\eqalign{ & 2 + \ln x = 0\,\,\,\,\,\left| { - 2} \right. \cr & \ln x = - 2\,\,\,\,\,\left| e \right. \cr & x = {e^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{e^2}}} \cr & {x_2} = \dfrac{1}{{{e^2}}} \cr} \)
Die beiden gesuchten Nullstellen lauten:
\({x_0} = \left( {2;{e^{ - 2}}} \right){\text{ bzw}}{\text{.: }}{x_0} = \left( {2;\frac{1}{{{e^2}}}} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(D = {{\Bbb R}^ + }\)
2. Teilaufgabe:
\({x_0} = \left( {2;{e^{ - 2}}} \right){\text{ bzw}}{\text{.: }}{x_0} = \left( {2;\frac{1}{{{e^2}}}} \right)\)