Aufgabe 1574
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter reeller Funktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen zweier reeller Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b\) und \(g\left( x \right) = c \cdot {x^3} + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\)
- Aussage 1: a>c
- Aussage 2: b>d
- Aussage 3: a>0
- Aussage 4: b>0
- Aussage 5: c<1
Aufgabenstellung
Welche der obenstehenden Aussagen treffen für die Parameter a, b, c und d zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Zunächst müssen wir die Parameter a, b, c und d ausrechnen, dann erst können wir die 5 Aussagen auf ihre Richtigkeit überprüfen. Dazu verwenden wir jeweils die markanten Punkte für x=0 und für y=0 (also die NST). An der Stelle x=0 können wir jeweils ganzzahlige Werte für den jeweiligen Schnittpunkt der Funktion mit der negativen y-Achse ablesen.
- \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \to f(x = 0) = a \cdot {0^3} + b = - 1 \Rightarrow b = - 1\)
- \(g\left( x \right) = c \cdot {x^3} + d \to g\left( {x = 0} \right) = c \cdot {0^3} + d = - 2 \Rightarrow d = - 2\)
Die Nullstellen der beiden Funktionen sind leider nicht ganzzahlig und können nur ungenau abgelesen werden. Das ist aber weiters nicht schlimm, solange NSTg < NSTf gewählt wird, werden auch die gesuchten Parameter a und c das korrekte Größenverhältnis haben...
Aus der Grafik lesen wir (ungefähr) ab: NSTg < NSTf
\(\eqalign{ & {\text{NS}}{{\text{T}}_f}:x = 0,8 \cr & NS{T_g}:x = 0,75 \cr} \)
- \(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \to 0 = a \cdot {0,8^3} - 1 \to a \cdot {0,8^3} = 1 \cr & \to a = \dfrac{1}{{{{0,8}^3}}} = 1,954 \to a \approx 2 \cr} \)
- \(\eqalign{ & g\left( x \right) = c \cdot {x^3} + d \to 0 = c \cdot {0,75^3} - 2 \to c \cdot {0,75^3} = 2 \cr & \to c = \dfrac{2}{{{{0,75}^3}}} = 4,74 \to c \approx 5 \cr} \)
Somit:
\(a \approx 2,\,\,\,\,\,b = - 1,\,\,\,\,\,c \approx 5,\,\,\,\,\,d = - 2\)
\(\eqalign{ & f(x) \approx 2 \cdot {x^3} - 1 \cr & g(x) \approx 5 \cdot {x^3} - 2 \cr} \)
Der Rest ist einfach:
- Aussage 1: a>c: Diese Aussage ist falsch, weil 2<7
- Aussage 2: b>d: Diese Aussage ist richtig, weil -1>-2
- Aussage 3: a>0: Diese Aussage ist richtig, weil 2>0
- Aussage 4: b>0: Diese Aussage ist falsch, weil -1<0
- Aussage 5: c<1: Diese Aussage ist falsch, weil 5>1
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.