Aufgabe 1311
AHS - 1_311 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kostenkehre
In einem Betrieb können die Kosten zur Herstellung eines Produkts in einem bestimmten Intervall näherungsweise durch die Funktion K mit der Gleichung \(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\) und a > 0 beschrieben werden \(\left( {K\left( x \right){\text{ in € }}{\text{, x in mg}}} \right)\)
Aufgabenstellung
Begründen Sie, warum es bei dieser Modellierung durch eine Polynomfunktion dritten Grades genau eine Stelle gibt, bei der die Funktion von einem degressiven Kostenverlauf in einen progressiven Kostenverlauf übergeht!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Den Wendepunkt, an dem der Kostenverlauf von degressiv (abnehmend) auf progressiv (zunehmend) übergeht, nennt man Kostenkehre.
Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat typischerweise einen s-förmigen Verlauf und somit 1. Wendepunkt.
\(f\left( {{x_0}} \right)\) hat einen Wendepunkt, wenn an der Stelle x0 wie folgt gilt: \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)
Lösungsweg
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d{\text{ mit }}a,b,c,d \in {\Bbb R}{\text{ und }}a > 0\)
Wir bilden die 1., 2. und 3. Ableitung:
\(\eqalign{ & K'\left( x \right) = 3a \cdot {x^2} + 2b \cdot x + c \cr & K''\left( x \right) = 6a \cdot x + 2b \cr & K'''\left( x \right) = 6a \cr} \)
Wir ermitteln jenes x0 an dem die 2. Ableitung der Kostenfunktion Null ist:
\(\eqalign{ & 6a \cdot x + 2b = 0 \cr & 6a \cdot x = - 2b \cr & {x_0} = - \dfrac{{2b}}{{6a}} = - \dfrac{b}{{2a}} \cr} \)
Wir überprüfen ob die 3. Ableitung an der Stelle x0 ungleich Null ist:
\(\eqalign{ & K'''\left( x \right) = 6a \cr & K'''\left( { - \dfrac{b}{{3a}}} \right) = 6a \ne 0 \cr} \)
An der Stelle \({x_0} = - \dfrac{b}{{2a}}\) liegt ein Wendepunkt und somit eine Kostenkehre vor.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
An der Stelle \({x_0} = - \dfrac{b}{{2a}}\) liegt ein Wendepunkt und somit eine Kostenkehre vor.
Lösungsschlüssel:
Der Punkt ist genau dann zu geben, wenn eine der Lösungserwartung (sinngemäß) entsprechende Erklärung gegeben wurde.