Aufgabe 229
Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades
- Extremstelle: \(EST(\dfrac{1}{3}\left| {ES{T_y}} \right.)\)
- Wendepunkt: \(WP\left( { - \dfrac{1}{3}\left| {W{P_y}} \right.} \right)\)
- Gleichung der Wendetangente: \(WT:\,y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)
Lösungsweg
Allgemeine Formel für ein Polynom 3. Grades
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
Wir benötigen also 4 Gleichungen, um die 4 unbekannten Koeffizienten a, b, c und d bestimmen zu können. Wir schauen zunächst, ob wir einen beliebigen Punkt gegeben haben, bei dem x=0 gilt… das ist bei diesem Beispiel leider nicht der Fall….
erste Gleichung: Wir wissen dass im Wendepunkt die 2. Ableitung Null sein muss
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\\ f''\left( x \right) = 6ax + 2b \end{array}\)
wir setzen \(W{P_x} = - \dfrac{1}{3}\) ein:
\(\begin{array}{l} f''\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = 6a \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + 2b = 0\\ - 2a + 2b = 0 \end{array}\)
zweite Gleichung: In jeden Extremwert (TP, HP bzw. Min, Max) ist die Tangente waagrecht, d.h. k=0 bzw. f‘(x)=0
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \end{array}\)
wir setzen \(f'\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = 0\) ein:
\(\begin{array}{l} f'\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = 3a{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} + 2b \cdot \dfrac{1}{3} + c = \\ = \dfrac{{3a}}{9} + \dfrac{{2b}}{3} + c = \\ = \dfrac{1}{3}a + \dfrac{2}{3}b + c = 0 \end{array}\)
dritte Gleichung: Wir kennen die Gleichung der Wendetangente und können daraus die Steigung k im WP und den Ordinatenabschnitt d direkt ablesen. Das hilft uns im Folgenden darum weiter, weil wir wissen dass \(f'\left( x \right) = k\)
\(\begin{array}{l} WT:\,y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\\ k = 0,5\\ d = \dfrac{7}{{18}} \end{array}\)
Wir können somit folgenden Zusammenhang für den WP herstellen:
\(f'\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = k = 0,5\)
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\\ f'\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = 3a.{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + 2b \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + c = 0,5\\ \dfrac{{3a}}{9} - \dfrac{{2b}}{3} + c = 0,5 \end{array}\)
Somit verbleiben die drei Unbekannten a, b und c, für deren Berechnung wir die erforderlichen 3 Gleichungen kennen:
\(\begin{array}{*{20}{c}} { - 2a}&{ + 2b}&{ + 0c}&{ = 0}\\ {\dfrac{1}{3}a}&{ + \dfrac{2}{3}b}&{ + 1c}&{ = 0}\\ {\dfrac{1}{3}a}&{ - \dfrac{2}{3}b}&{ + 1c}&{ = 0,5} \end{array}\)
wir subtrahieren die 3. von der 2. Gleichung und erhalten
\(\begin{array}{l} \dfrac{4}{3} \cdot b = - 0,5\\ b = - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} = - \dfrac{3}{8} = \end{array}\)
wir setzen \(b = - \dfrac{3}{8}\) in die 1. Gleichung ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} - 2a + 2 \cdot \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) = 0 \Rightarrow 2a = - \dfrac{{2 \cdot 3}}{8} \Rightarrow \\ a = - \dfrac{6}{{16}} = - \dfrac{3}{8} \end{array}\)
da wir nun a und b kennen, können wir in die 2. Gleichung einsetzen und erhalten:
\($\begin{array}{l} \dfrac{1}{3} \cdot \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) + \dfrac{2}{3} \cdot \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) + c = 0\\ - \dfrac{3}{{24}} - \dfrac{6}{{24}} = - c\\ c = \dfrac{9}{{24}} = \dfrac{3}{8} \end{array}\)
Somit kennen wir 3 der 4 Unbekannten: \(a = - \dfrac{3}{8};\,\,\,\,\,b = - \dfrac{3}{8};\,\,\,\,\,c = \dfrac{3}{8}\)
vierte Gleichung: Nun müssen wir noch d ausrechen.
Dazu ermitteln wir aus der Gleichung der Wendetangente den fehlenden y-Wert des Wendepunkts wie folgt: Wir setzen die Werte für k und d ein, die wir direkt der Angabe entnehmen konnten:
\(y = kx + d = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)
Da der WP bei \({\rm{x = - }}\dfrac{1}{3}\) liegt:
\(\begin{array}{l} y = \dfrac{1}{2} \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + \dfrac{7}{{18}} = - \dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{{18}} = - \dfrac{3}{{18}} + \dfrac{7}{{18}} = \dfrac{4}{{18}} = \dfrac{2}{9}\\ WP\left( { - \dfrac{1}{3}\left| {\dfrac{2}{9}} \right.} \right) \end{array}\)
Da der Wendepunkt natürlich auf der Funktion liegt, gilt:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^3} + \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \left( {\dfrac{3}{8}} \right) \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + d = \dfrac{2}{9} \end{array}\)
somit haben wir eine Gleichung mit der letzten Unbekannten d, die wir wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^3} + \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \left( {\dfrac{3}{8}} \right) \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + d = \dfrac{2}{9}\\ \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) \cdot \left( { - \dfrac{1}{{27}}} \right) + \left( { - \dfrac{3}{8}} \right) \cdot \left( {\dfrac{1}{9}} \right) + \left( {\dfrac{3}{8}} \right) \cdot \left( { - \dfrac{1}{3}} \right) + d = \dfrac{2}{9}\\ \dfrac{1}{{8 \cdot 9}} - \dfrac{1}{{8 \cdot 3}} - \dfrac{1}{8} + d = \dfrac{2}{9}\\ \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{1}{{24}} - \dfrac{1}{8} + d = \dfrac{2}{9}\\ \dfrac{1}{{72}} - \dfrac{3}{{72}} - \dfrac{9}{{72}} + d = \dfrac{{16}}{{72}}\\ - \dfrac{{11}}{{72}} + d = \dfrac{{16}}{{72}}\\ d = \dfrac{{16}}{{72}} + \dfrac{{11}}{{72}} = \dfrac{{27}}{{72}} = \dfrac{3}{8} \end{array}\)
Somit kennen wir alle 4 gesuchten Parameter:
\(a = - \dfrac{3}{8};\,\,\,\,\,b = - \dfrac{3}{8};\,\,\,\,\,c = \dfrac{3}{8};\,\,\,\,\,d = \dfrac{3}{8}\)
Die gesuchte Funktion lautet daher:
\(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.