Nullstelle einer Funktion
Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). Um die Nullstellen einer Funktion aufzufinden, setzt man die Funktion einfach gleich Null.
\(f\left( x \right) = 0\)
- Es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad der Funktion ist, bzw. ein Polynom n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben
- Ein Polynom von ungeradem Grad, muss mindestens eine Nullstelle haben
Regula Falsi
Die Regula Falsi ist eine Methode zur numerischen Berechnung von Nullstellen mit Hilfe von Sekanten, deren Schnittpunkt mit der x-Achse sich bei jeder Iteration der gesuchten Nullstelle annähert. Die Regula Falsi wird aus folgemden Grund auch Sekantenverfahren genannt: Von zwei Funktionswerten mit unterschiedlichem Vorzeichen wird der Schnittpunkt der Sehne mit der x-Achse bestimmt. Mit Hilfe dieses Näherungswertes für die Nullstelle wird ein neuer Funktionswert bestimmt, sodass die Funktionswerte weiterhin unterschiedliche Vorzeichen haben. In der Folge wird eine weitere Sehne gelegt und so wird der nächste Näherungswert für die Nullstelle bestimmt.
\(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - f\left( {{x_n}} \right) \cdot \dfrac{{{x_i} - {x_{i - 1}}}}{{f\left( {{x_i}} \right) - f\left( {{x_{i - 1}}} \right)}} \cr & \operatorname{sgn} f\left( {{x_i}} \right) \ne \operatorname{sgn} f\left( {{x_{i - 1}}} \right) \cr}\)
Newtonsches Näherungsverfahren
Das newtonsche Näherungsverfahren ist eine Methode zur numerischen oder graphischen Bestimmung von Nullstellen.
Rechnerische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren
Für das rechnerische newtonsche Näherungsverfahren schätzt man zunächst einen Startwert x1. Für diesen Startwert x1 berechnet man den Funktionswert f(x1) und den Wert der 1. Ableitung f'(x1). Für den jeweils nächst-besseren Wert xi+1 zum Vorgängerwert xi gilt die Iterationsformel:
\(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - \dfrac{{f\left( {{x_i}} \right)}}{{f'\left( {{x_i}} \right)}} \cr & f'\left( {{x_i}} \right) \ne 0 \cr & {\text{Startwert: }}{x_1} \cr}\)
Hoch- und Tiefpunkte eignen sich daher nicht als Startwert, da sonst der Nenner f'(x), auf Grund der horizontalen Tangente an den Extremwert, zu Null wird.
Graphische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren
Beim grafischen newtonschen Näherungsverfahren wird die Funktion durch eine Tangente Tg1 in einem geeignet gewählten Näherungswert x1 der tatsächlichen Nullstelle x0 ersetzt. Dort wo die Tangente Tg1 die x-Achse schneidet, wird erneut ein Näherungswert x2 bestimmt. Dabei liegt x2 schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x0 als dies noch bei x1 der Fall war. Die nächste Näherung x3 wird mittels der Tangente Tg2 bestimmt. Dabei liegt x3 schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x0 als dies noch bei x1 und x2 der Fall war....
Die Lösungen der Gleichung f(x)=0 stimmen mit den Nullstellen der Funktion f(x) überein. Im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) befindet sich nur dann mindestens eine Nullstelle x0 der Funktion f(x), wenn f(x) dort stetig ist und f(x1) und f(x2) unterschiedliche Vorzeichen besitzen.