Aufgabe 1312
AHS - 1_312 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion dritten Grades f hat die Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\) und \(a \ne 0\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die Funktion f besitzt genau eine ______1____ , weil es genau ein \(x \in {\Bbb R}\) gibt, für das _______2______ gilt.
1 | |
Nullstelle | A |
lokale Extremstelle | B |
Wendestelle | C |
\(f\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'\left( x \right) \ne 0\) | I |
\(f'\left( x \right) = 0{\text{ und }}f''\left( x \right) = 0\) | II |
\(f''\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( x \right) \ne 0\) | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Gemäß den Zusammenhängen zwischen höheren Ableitungen gilt (auszugsweise):
- für eine Nullstelle: \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)
- für eine lokale Extremstelle: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) und \({\text{f''}}\left( {{x_0}} \right) \ne 0{\text{ }}\)
- für eine Wendestelle: \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0\) und \(f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)
Lösungsweg
Es wird lediglich das "Lösungspärchen" für die Wendestelle angeboten:
→ Die Funktion f besitzt genau eine Wendestelle , weil es genau ein \(x \in {\Bbb R}\) gibt, für das \(f''\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( x \right) \ne 0\) gilt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Funktion f besitzt genau eine Wendestelle , weil es genau ein \(x \in {\Bbb R}\) gibt, für das \(f''\left( x \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( x \right) \ne 0\) gilt.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.