Faktorisieren

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die sogenannte "faktorisierte" Darstellung hat den Vorteil, dass man die Lösungen der Gleichung, bzw. die Nullstellen der Funktion direkt ohne weiterer Rechnung ablesen kann

Satz von Vieta (Allgemeine Form)

Der Satz von Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a, b und c und den Lösungen bzw. Nullstellen x₁ und x₂ der Gleichung

\(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit: }}a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

Die bekannten Koeffizienten a, b und c hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

\( - \dfrac{b}{a} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(\dfrac{c}{a} = \left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right)\)

​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x₁ und x₂ einfach ausrechnen.

Satz von Vieta (Normalform)

Der Satz von Vieta für quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q und den Lösungen bzw. Nullstellen x₁ und x₂ der zugrunde liegenden Funktion bzw. Gleichung.

\({x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R}\)

Die bekannten Koeffizienten p und q hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

\( - p = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(q = {x_1} \cdot {x_2}\)

​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x₁ und x₂ einfach ausrechnen.

Faktorisieren

Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt. Enthalten alle Summanden eines Summen- bzw. Differenzenterms den gemeinsamen Faktor a, so kann man diesen herausheben.

\(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)

Zerlegung in Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades

Unter Verwendung der mit Hilfe vom Satz von Vieta ermittelten Nullstellen x₁ und x₂ kann man die quadratische Gleichung nunmehr in Linearfaktoren zerlegt anschreiben.
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

\({x^2} + px + q = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

Linearfaktorzerlegung für Polynome n-ten Grads

Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)

→ Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.

Die Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung ist folgende:

Wenn man alle Nullstellen x_i bereits kennt, kann man die Linearfaktoren direkt anschreiben.

Wenn man die Nullstellen noch nicht kennt, versucht man eine Nullstelle x₁ und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x₁) zu erraten. Anschließend dividiert man das Ausgangspolynom p_n durch den Linearfaktor. Das Restpolynom p_n-1 hat sich gegenüber dem Ausgangspolynom um einen Grad erniedrigt und man kennt bereits einen Linearfaktor bzw. eine Nullstelle vom Ausgangspolynom.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot {p_{n - 1}}\left( x \right) \cr} \)

Nun versucht man vom Restpolynom p_n-1 wieder eine Nullstelle x₂ und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x₂) zu erraten, usw. Irgendwann bleibt ein Restglied über, welches selbst keine Nullstelle besitzt.

Hornersche Regel zur Linearfaktorzerlegung

Die hornersche Regel funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet. Sie hilft dabei, den Grad vom Polynom um 1 zu reduzieren, wodurch man schon mal eine Nullstelle gefunden hat und der verbleibende Rest vom Polynom einfacher zu faktorisieren ist, um alle Nullstellen (Lösungen) zu erhalten.

\(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)

Horner'sches Schema zur Linearfaktorzerlegung

Beim hornerschen Schema handelt es sich um ein Umformungsverfahren um einfach die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Dazu muss man versuchen, eine Nullstelle zu erraten.

Teiler

Der Teiler a ist jene Zahl, durch die man eine andere Zahl b ohne Rest teilen kann.

\(a\left| b \right.\) ... sprich "a teilt b"

a ist Teiler von b, wenn es ein \(n \in {\Bbb N}\) gibt, sodass \(n \cdot a = b\). Bei der Division von b durch a darf kein Rest bleiben, andernfalls ist a kein Teiler von b.

Teiler schreibt man in der Praxis vorzugsweise als Brüche \(\dfrac{b}{a} = n\) an, wobei der Nenner den Teiler (vom Ganzen) angibt und der Zähler wieviele Teilstücke gemeint sind.
Beispiel:
\(\dfrac{{12}}{3} = 4 \to 3\left| {12} \right.\)

2, 3, 4, 6 und 12 sind ein Teiler von 12.

Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeitsregeln treffen eine Aussage darüber, ob einfache natürliche Zahlen ohne Rest teilbar sind.

Größter gemeinsamer Teiler ggT

Der ggT der beiden Zahlen m und n, ist die größte natürliche Zahl, die sowohl m als auch n teilt.

Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren. Anschließend bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die in beiden Faktorisierungen enthalten sind.

Beispiel:
Gesucht ist der ggT von 18 und 24
Man bedient sich der Methode der Primfaktorenzerlegung (siehe weiter unten)

\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 3 \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ggT}}\left( {18,24} \right) = 2 \cdot 3 = 6\)

Der ggT von 18 und 24 ist 6

Primfaktorenzerlegung

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass man jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist als Produkt von Primzahlen anschreiben kann.

• 1. Schritt: Man prüft von der kleinsten Primzahl 2 ausgehend aufsteigend alle Primzahlen durch, ob sie die zu faktorisierende Zahl ganzzahlig (also ohne Rest) teilen
• 2. Schritt: Hat man so einen Teiler gefunden, so notiert man diese Primzahl.
• 3. Schritt: Man teilt die zu faktorisierende Zahl durch die Primzahl und fängt wieder beim 1. Schritt neu an
• 4. Schritt: Bleibt am Schluss nur mehr eine Primzahl über, kann man die ursprünglich zu faktorisierende Zahl als das Produkt aller notierten Primzahlen und der übrig gebliebenen Primzahl anschreiben

Beispiel:
Gesucht ist die Primfaktorenzerlegung von 18

• 1. Schritt: 2 teilt 18 ohne Rest
• 2. Schritt: Wir notieren 2
• 3. Schritt: Wir teilen 18 durch 2 und erhalten 9
• 1. Schritt: 3 teilt 9
• 2. Schritt: Wir notieren 3
• 3. Schritt: Wir teilen 9 durch 3 und erhalten die Primzahl 3
• 4. Schritt: Die Primfaktoren sind 2, 3 und 3 somit lautet die Primfaktorenzerlegung von \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)

Teilerfremde Zahlen

Weist die Primfaktorenzerlegung zweier oder mehrere Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aus, so spricht man von teilerfremden Zahlen. In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen die Zahl 1, die bekanntlich keine Primzahl ist. Zwei unterschiedliche Primzahlen sind grundsätzlich teilerfremd.

Zusammenhang zwischen ggT und kgV:

Das Produkt aus dem größten gemeinsamen Teiler mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen, ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen selber.

Faktorisieren bzw. Abspaltung von Linearfaktoren bei komplexen Polynomen

Faktorisieren

Mit Faktorisieren bezeichnet man die Umwandlung eines Polynoms von der Summendarstellung in eine Produktdarstellung.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ⇒ \(p\left( z \right) = {p_n}\left( z \right) \cdot \,\,...\,\,\cdot \,{p_2}\left( z \right) \cdot {p_1}\left( z \right)\)

Abspaltung von Linearfaktoren

Jedes Polynom n-ten Grades lässt sich also als Produkt von n Linearfaktoren anschreiben.

Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten a_n, .. a₀ eine (erste) Lösung z₀, so kann man den Linearfaktor (z-z₀) abspalten und so das Polynom im Grad reduzieren / vereinfachen.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ... Summendarstellung

Ist z ₀ eine Lösung (Nullstelle) vom Polynom p_n(z)=0, so gilt:
\({{\text{p}}_n}\left( z \right) = \left( {z - {z_0}} \right) \cdot {q_{n - 1}}\left( z \right)\) ... Produktdarstellung
wobei q ein einfacheres Polynom - das sogenannte Restglied ist.

• Wenn z₀ eine reelle Zahl (also eine Nullstelle) ist, so ist das Restglied vom Grad n-1.
• Wenn z₀ eine komplexe Zahl ist, so ist das Restglied vom Grad n-2, da komplexe Lösungen immer paarweise auftreten.

Das Polynom n-ten Grades lässt sich somit durch wiederholte Abspaltung von (komplexen) Linearfaktoren wie folgt faktorisieren:
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot \left( {z - {z_0}} \right) \cdot \left( {z - {z_s}} \right) \cdot ... \cdot \left( {z - {z_n}} \right)\)

• Für Polynome ohne konstantes Glied gilt: Sie können durch Herausheben der niedrigsten Potenz von z faktorisiert werden.
• Für Polynome mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten a gilt: Allfällige ganzzahlige Nullstellen sind stets ein Teiler des konstanten Gliedes a₀.