Aufgabe 1531
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum einer Population
Die Größe einer Population wird in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der Funktion N mit \(N(t) = {N_0} \cdot {e^{0,1188 \cdot t}}\) beschrieben, wobei die Zeit t in Stunden angegeben wird. Dabei bezeichnet N0 die Größe der Population zum Zeitpunkt t=0 und N(t) die Größe der Population zum Zeitpunkt \(t \geqslant 0\).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie denjenigen Prozentsatz p, um den die Population pro Stunde wächst!
p≈ ___ %
Lösungsweg
Der prozentuelle Zuwachs p gibt an, um welchen Faktor die Population in einer Stunde wächst.
- Ausgehend von einem Startwert N(t) beträgt der reine Zuwachs innerhalb einer Stunde: \(N(t) \cdot p\)
- Somit ist die Größe der Gesamtpopulation nach (t+1) Stunden: \(N(t + 1) = N(t) \cdot (1 + p)\)
Um den Prozentsatz p zu bestimmen reicht es nun aus, einen Wert für t einzusetzen und die Gleichung nach p zu lösen. Wir verwenden dabei der Einfachheit halber t=1 und damit den Startwert N0
Für t=1 und dem Startwert N0 gilt:
\(\eqalign{ & N(1) = {N_0} \cdot {e^{0,1188}} = {N_0} \cdot (1 + p)\,\,\,\,\,|:{N_0} \cr & {e^{0,1188}} = 1 + p\,\,\,\,\,| - 1 \cr & {e^{0,1188}} - 1 = p \cr} \)
Somit: \(p = {e^{0,1188}} - 1 \approx 0,126 = 12,6\% \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
p≈ 12,6 %
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [12 %; 13 %]
Ein Punkt für die richtige Lösung.