Aufgabe 6036
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \sqrt {1 - \ln x} \) mit maximaler Definitionsmenge D.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie D.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie den Wert \(x \in D{\text{ mit }}f\left( x \right) = 2\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein, da eine negative Wurzel nur im Bereich der komplexen Zahlen lösbar ist. Wir betrachten daher den Radikanden und formen wie folgt um:
Die obere Grenze vom Definitionsbereich ergibt sich wie folgt
\(\eqalign{ & 1 - \ln x \geqslant 0\,\,\,\,\,\left| { + \ln x} \right. \cr & 1 \geqslant \ln x\,\,\,\,\,\left| e \right. \cr & {e^1} \geqslant {e^{\ln x}} \cr & e \geqslant x \cr & x \leqslant e \cr} \)
Die untere Grenze vom Definitionsbereich ergibt sich aus dem Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus, der nur die positiven reellen Zahlen umfasst.
Berücksichtigen wir nun, dass 0 ausgeschlossen und e eingeschlossen werden müssen, so ergibt sich folgendes Intervall:
\(D = \left] {0;e} \right]\)
2. Teilaufgabe:
Wir setzen den gegebenen Funktionswert in die Funktionsgleichung wie folgt ein und machen x explizit:
\(\eqalign{ & \sqrt {1 - \ln x} = 2\,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \cr & 1 - \ln x = 4\,\,\,\,\,\left| { + \ln x} \right. \cr & 1 = 4 + \ln x\,\,\,\,\,\left| { - 4} \right. \cr & - 3 = \ln x\,\,\,\,\,\left| e \right. \cr & {e^{ - 3}} = {e^{\ln \left( x \right)}} = x \cr & x = {e^{ - 3}} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(D = \left] {0;e} \right]\)
2. Teilaufgabe:
\(x = {e^{ - 3}}\)