Aufgabe 6037
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass der Graph der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(g:x \mapsto {x^2} \cdot \sin x\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
2. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie den Wert des Integrals \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2} \cdot \sin x\,\,dx} \) an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Punktsymmetrisch zum Ursprung“ bedeutet, dass es sich um eine „ungerade Funktion“ handelt. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Wir müssen also zeigen, dass wie folgt gilt:
\(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)
Weiters benötigen wir die Reduktionsformeln für Winkelfunktionen gemäß:
\(\sin \left( { - \varphi } \right) = - \sin \left( \varphi \right)\)
Somit:
\(\eqalign{ & g(x) = {x^2} \cdot \sin \left( x \right) \cr & g( - x) = {\left( { - x} \right)^2} \cdot \sin \left( { - x} \right) = {x^2} \cdot \left( { - \sin \left( x \right)} \right) = - {x^2} \cdot \sin \left( x \right) = - g\left( x \right) \cr & g\left( x \right) = - g\left( { - x} \right)\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}{\text{.}} \cr} \)
→ Wir konnten zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
2. Teilaufgabe:
Da wir in der 1. Teilaufgabe gezeigt haben, dass \(g(x) = {x^2} \cdot \sin \left( x \right)\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, heben sich in einem zum Ursprung symmetrischen Intervall die positiv und die negativ orientierten Flächen gegenseitig auf, sodass wie folgt gelten muss:
\(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2} \cdot \sin x\,\,dx} = 0\)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Mit Hilfe der Reduktionsformeln für Winkelfunktionen können wir zeigen, dass der Graph von g punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
2. Teilaufgabe:
\(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2} \cdot \sin x\,\,dx} = 0\)