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Aufgabe 6007

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften eruieren

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt. 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge \(\left] { - \infty ;5} \right]\)

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften besitzt. 

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Die Funktion k hat in x=2 eine Nullstelle und in x=-3 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Gleichung y =1 als Asymptote.

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Zu dieser Aufgabenstellung fällt uns die Wurzelfunktion ein. Leider müssen wir diese an der y-Achse spiegeln und um 5 Einheiten in Richtung der positiven x-Achse verschieben damit sie der vorgegebenen Definitionsmenge entspricht. Das geht Schritt für Schritt wie folgt:

  • \(\sqrt x \) hat den Definitionsbereich \(D = \left[ {0; + \infty } \right[ = {{\Bbb R}_0}^ + \)
  • \(\sqrt { - x} \) hat den Definitionsbereich \(D = \left[ { - \infty ;0} \right[ = {{\Bbb R}_0}^ - \)
  • \(\sqrt { - x + 5} \) hat den Definitionsbereich \(\left] { - \infty ;5} \right]\)

 

Die gesuchte Funktion lautet:
\(g(x) = \sqrt { - x + 5} \)

Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:

Wurzelfunktionen

2. Teilaufgabe:

Wir fassen zusammen und erarbeiten dabei schrittweise die Lösung:

  • k(x) hat in x=2 eine Nullstelle. Mit Hilfe der Schreibweise mittels Linearfaktoren kann man sehr einfach ein  Polynom anschreiben, welches an der Stelle x=2 eine (doppelte) Nullstelle hat  \(p(x) = {(x - 2)^2}\) . Aber auch das Polynom \(p(x) = {x^2} - 4\) hat an der Stelle x=2 eine Nullstelle. Beide Polynome sind wegen x² vom Zählergrad 2.
     
  • Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. k(x) hat lt. Angabe bei x=-3 eine Polstelle, es muss sich daher um eine gebrochenrationale Funktion vom Typ
    \(k\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) handeln.
     
  • Bei der Polstelle soll es sich um eine ohne Vorzeichenwechsel handeln. Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten der Funktion entweder nach + oder nach – Unendlich. Nur gebrochenrationale Funktion mit geradem Zählergrad haben Polstellen ohne Vorzeichenwechsel. \(p(x) = {(x - 2)^2}\)  aber auch \(p(x) = {x^2} - 4\) entsprechen dieser Forderung.
  •  
  • k(x) hat in y=1 eine horizontale Asymptote, daher muss der Zählergrad gleich dem Nennergrad sein. Dh da der Zählergrad 2 ist, muss auch der Nennergrad 2 sein. Für das Nennerpolynom verwenden wir auch hier wieder die Schreibweise mittels Linearfaktoren
    \(q(x) = {(x - {x_0})^2}\)
    Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms im Nenner, also von q(x), bestimmt. Hier ist es umgekehrt: Wir kennen die Polstelle aus der Angabe zu \({x_0} = - 3\) . Daher muss das Nennerpolynom wie folgt lauten: 
    \(q(x) = {(x + 3)^2}\)

 

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit:
\(\eqalign{ & k(x) = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & {\text{oder}} \cr & k(x) = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr} \)

Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:

Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe:
\(g(x) = \sqrt { - x + 5} \)

2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & k(x) = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr & {\text{oder}} \cr & k(x) = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \cr} \)