Allgemeine Sinusfunktion
Formel
Allgemeine Sinusfunktion
Für den Zeitpunkt t=0 ist die Amplitude einer Sinusfunktion null. Unmittelbar danach nehmen die Funktionswerte zu. Von einer allgemeinen oder phasenverschobenen Sinusfunktion spricht man, wenn die Amplitude einer Sinusfunktion zum Zeitpunkt t=0 ungleich Null ist. Der Vorteil dieser Notation ist, dass man etwa eine Kosinusfunktion als eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion darstellen kann.
Änderung von Parametern einer allgemeinen Sinusfunktion
Über Parameter können Form und Lage vom Graph der allgemeinen Sinusfunktion verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
\(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\) - Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
- Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
Statt der bei Winkelfunktionen vertrauten Schreibweise sin(x) verwenden wir die in der Elektrotechnik übliche Schreibweise \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) da dadurch die Zeitabhängigkeit der Amplitude (=des Funktionswerts) klar zum Ausdruck gebracht wird.
\(\eqalign{ & y\left( t \right) = A_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) \cr & T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{1}{f} \cr & {t_0} = - \dfrac{\varphi }{\omega } \cr & \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr & f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right) \cr}\)
Illustration einer phasenverschobenen Sinusfunktion
A | Amplitude (=maximale Auslenkung) |
\(\omega \) | Kreisfrequenz (Maß dafür, wie schnell die Schwingung abläuft) |
\( \varphi\) | Nullphasenwinkel (bei einer "allgemeinen" Schwingung ist die Amplitude zum Zeitpunkt t=0 größer oder kleiner - auf jeden Fall ungleich - als Null. |
T | Schwingungsdauer (Periodendauer) |
f | Frequenz |
Nullphasenwinkel
Der Nullphasenwinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die Nullstelle einer Schwingung y(t) zum Zeitpunkt t=0 im Vergleich zu einer reinen Sinusschwingung ist.
Phasenverschiebungswinkel
Der Phasenverschiebungswinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die jeweilige Nullstelle zweier beliebiger Schwingungen ist. Ein Beispiel für die physikalische Bedeutung ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung etwa bei Drehstromsystemen als Maß für die unerwünschte Blindleistung Q gemäß \(Q = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)
- Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem positiven Wert , so wird der Graph der Funktion nach links verschoben.
- Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem negativen Wert , so wird der Graph der Funktion nach rechts verschoben.
Illustration einer um +90° phasenverschobenen Sinusfunktion die somit zur Kosinusfunktion wird
- In rot die Sinusfunktion
- In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
- In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Trigonometrie | Es geht bei der Trigonometrie um die Berechnung von rechtwinkeligen Dreiecken mit Hilfe vom Verhältnis zweier Dreiecksseiten |
Aktuelle Lerneinheit
Allgemeine Sinusfunktion | Die Amplitude der Schwingung ist zum Zeitpunkt t=0 entweder größer oder kleiner als Null. |
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Winkelbeziehungen im rechtwinkeligen Dreieck | Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten. |
Zusammenhang der Funktionswerte einer Winkelfunktion zu den anderen 5 Winkelfunktionen bei gleichem Winkel | Mit Hilfe dieser Beziehungen lässt sich eine Winkelfunktion in eine der fünf anderen Winkelfunktionen umrechnen |
Hyperbel- und Areafunktionen | Die Hyperbelfunktionen sind bestimmte Kombinationen der natürlichen Exponentialfunktionen, die vor allem in der Technik häufig vorkommen. Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. |
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Additionstheoreme für Winkelfunktionen | Die Additionstheoreme vereinfachen das Rechnen mit Summen bzw. Differenzen von zwei Winkeln oder Summen bzw. Differenzen von zwei Winkelfunktionen |
Reduktionsformeln für beliebige Winkel | Die Berechnung jedes beliebigen Winkelfunktionswerts, lässt sich auf die Berechnung des Winkelfunktionswerts zwischen 0 ° und 90 ° zurückführen |
Winkelfunktionen am Einheitskreis | Die Betrachtung der Winkelfunktionen am Einheitskreis umfasst alle Winkel zwischen 0° und 360° |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1283
AHS - 1_283 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Atemzyklus
Der Luftstrom beim Ein- und Ausatmen einer Person im Ruhezustand ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit nach einer Funktion f. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt ein Atemzyklus. f ( t) ist die bewegte Luftmenge in Litern pro Sekunde zum Zeitpunkt t in Sekunden und wird durch die Gleichung \(f\left( t \right) = 0,5 \cdot \sin \left( {0,4 \cdot \pi \cdot t} \right)\) festgelegt.
(Datenquelle: Timischl, W. (1995). Biomathematik: Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2. Auflage. Wien u. a.: Springer.)
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Dauer eines gesamten Atemzyklus!
Aufgabe 1284
AHS - 1_284 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodizität
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen f1, f2 und f3 von Funktionen der Form \(f\left( x \right) = \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
\({f_1} = \sin \left( x \right);\) \({f_2} = \sin \left( {2x} \right);\) \({f_3} = \sin \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie jeweils die der Funktion entsprechende primitive (kleinste) Periode p!
Aufgabe 4202
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhaus - Aufgabe A_116
Teil c
Ein Baumhaus wird mit gewellten Kunststoffplatten überdacht.
Dem Querschnitt liegt der Graph der Funktion f mit f(x) = cos(x) zugrunde. Dieser ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[1 Punkt]
In der nachstehenden Abbildung ist ein Winkel α im Einheitskreis dargestellt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im obigen Einheitskreis denjenigen Winkel β ein, für den gilt:
\(\sin \left( \beta \right) = \sin \left( \alpha \right){\text{ mit }}\beta \ne \alpha {\text{ und 0°}} \leqslant \beta \leqslant {\text{360° }}\)
[1 Punkt]
Aufgabe 1506
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodische Funktion
Gegeben ist die periodische Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die kleinste Zahl a > 0 (Maßzahl für den Winkel in Radiant) so an, dass für alle \(x \in {\Bbb R}\) die Gleichung \(f\left( {x + a} \right) = f\left( x \right)\) gilt!
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Aufgabe 1338
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinusfunktion
Im untenstehenden Diagramm sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.
Die Funktion f hat die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) mit den reellen Parametern a und b. Wenn diese Parameter in entsprechender Weise verändert werden, erhält man die Funktion g.
Aufgabenstellung:
Wie müssen die Parameter a und b verändert werden, um aus f die Funktion g zu erhalten? Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Um den Graphen von g zu erhalten, muss a ___1___ und b ___2___ .
1 | |
verdoppelt werden | A |
halbiert werden | B |
gleich bleiben | C |
2 | |
verdoppelt werden | I |
halbiert werden | II |
gleich bleiben | III |
Aufgabe 1601
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer Sinusfunktion
Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)
Aufgabenstellung:
Aufgabenstellung: Geben Sie die für den abgebildeten Graphen passenden Parameterwerte a und b an!
a=
b=
Aufgabe 1745
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sinusfunktion
Gegeben ist eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\pi \cdot x}}{b}} \right){\text{ mit }}a,b \in {R^ + }\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie in der nachstehenden Abbildung a und b auf der jeweils entsprechenden Achse so, dass der abgebildete Graph dem Graphen der Funktion f entspricht. [0 / 1 Punkt]
Aufgabe 6017
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Eigenschaften einer Sinusfunktion
Gegeben ist die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {2x} \right)\).
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Amplitude der Funktion f an.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Periode der Funktion f an.
3. Teilaufgabe a.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Wertemenge der Funktion f an.
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Aufgabe 4343
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blutdruck - Aufgabe B_448
Teil b
Die zeitliche Entwicklung des sogenannten systolischen Blutdrucks einer Testperson wird durch eine Funktion f modelliert (siehe nachstehende Abbildung).
Die Funktion f wird beschrieben durch:
\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135\)
t |
Zeit in h |
f(t) | systolischer Blutdruck zur Zeit t in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg) |
a | Parameter |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zeitangabe in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Bestimmen Sie den Parameter a.
[1 Punkt]
Der Graph der Funktion f1 in der obigen Abbildung entsteht durch vertikale Verschiebung des Graphen von f.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ausgehend von f eine Funktionsgleichung für f1.
[1 Punkt]
Aufgabe 4500
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Attersee - Aufgabe B_524
Teil a
Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Attersees kann modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t - \dfrac{{2 \cdot \pi }}{3}} \right) + c{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 360\)
t | Zeit in Tagen |
f(t) | Temperatur zur Zeit t in °C |
a,b,c | Parameter |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter b.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den zutreffenden Zahlenwert aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Größe 1: Amplitude von f
- Größe 2: linearer Mittelwert (Integralmittelwert) von f im Intervall [30; 210]
- Zahlenwert 1: 10
- Zahlenwert 2: 12
- Zahlenwert 3: 13
- Zahlenwert 4: 23
Zur Zeit t = 120 betrug die tatsächlich gemessene Temperatur 12 °C.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Betrag des absoluten Fehlers an, der entsteht, wenn man statt der tatsächlich gemessenen Temperatur den Funktionswert an der Stelle t = 120 verwendet.
[0 / 1 P.]
Zur Überprüfung der Qualität der Modellfunktion f werden 1 000 Messwerte yider Temperatur zu verschiedenen Zeiten tierhoben. Für jeden dieser Messpunkte (ti| yi) wird die Differenz des Messwerts yizum Funktionswert f(ti) ermittelt. Diese Differenzen werden jeweils quadriert und danach aufsummiert. Die so erhaltene Summe wird mit s bezeichnet.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung von s.
\(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {???} \)
[0 / 1 P.]