Geometrie

Abbildungsgeometrie

In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen

• Kongruenzabbildungen: Es bleiben Winkel und Strecken erhalten, die Figuren sind deckungsgleich
• Ähnlichkeitsabbildungen: Es bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten, die Figuren sind nicht deckungsgleich

Kongruenzabbildungen

Bei Kongruenzabbildungen bleiben Winkel und Strecken erhalten
Sind nicht nur die Winkel (wie bei Ähnlichkeitsabbildungen), sondern auch die Seitenlängen gleich, so nennt man die Figuren kongruent, auch dann, wenn sie erst durch Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur in der Lage zueinander. Ihr Flächeninhalt ist gleich groß. Deckungsgleiche Figuren kann man durch spiegeln, verschieben und drehen so übereinander legen, dass die "obere" Figur die "untere" Figur vollständig abdeckt.

• 4 Kongruenzabbildungen
  Die vier Kongruenzabbildungen sind Lageänderungen (Abbildungen ) einer Figur, sodass sich diese Figur nach der Kongruenzabbildung nicht in Form und Größe von der Figur vor der Kongruenzabbildung unterscheidet.
  • Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt bzw. Zentralspiegelung: Spiegelung um einen Punkt
  • Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden bzw. Achsenspiegelung bzw. Umklappung: Spiegelung um eine Gerade, welche die Spiegelungsachse darstellt
  • Schiebung bzw. Translation: Verschiebung entlang paralleler gleich langer Schiebungsstrecken
  • Drehung bzw. Rotation: Drehung um einen Drehpunkt und um einen Drehwinkel

Symmetrie

Eine symmetrische Figur kann durch eine Kongruenzabbildung in sich selbst abgebildet werden

• Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie
  • Kongruenz ist eine Beziehung zwischen zwei deckungsgleichen Figuren
  • Symmetrie ist eine Eigenschaft von einer Figur

Ähnlichkeitsabbildungen

Bei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten.
Die Figuren haben zwar die gleichen Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen. D.h. die einander entsprechenden Winkel sind gleich groß, die einander entsprechenden Seiten (sind zwar nicht gleich lang, aber sie) haben dasselbe Längenverhältnis.

• Affine Ähnlichkeitsabbildungen:
  • Sie sind geradentreu, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet
  • Sie sind parallelentreu, d.h. parallele Gerade werden auf parallele Gerade abgebildet
  • Sie sind teilerverhältnistreu, d.h. teilt ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k, dann teilt sein Bildpunkt X‘ die Strecke A’B‘ ebenfalls im Verhältnis k
• Affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind
  • Scherung: Eine Seite der Figur samt den Punkten die auf dieser Seite liegen bleibt fix, alle anderen Punkte der Figur werden in Richtung dieser Seite verschoben, wobei aber die Fläche unverändert bleibt. So wird aus einem Rechteck ein Parallelogramm.
  • Parallelstreckung:Alle Ecken einer Figur (und damit auch die Punkte ihrer Verbindungsgeraden) werden entlang von parallelen Geraden unterschiedlich weit verschoben

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke haben zwar gleiche Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen, die jedoch den selben Streckungsfaktor aufweisen

\(\eqalign{ & \dfrac{{{A_{ABC}}}}{{{A_{A'B'C}}}} = {k^2}; \cr & \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = k; \cr}\)

Den Proportionalitätsfaktor k nennt man den Streckungsfaktor.

• Ist k>1 spricht man von einer Streckung
• ist k=1 so sind die Dreiecke kongruent
• Ist k<1 so spricht man von einer Stauchung

Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der die Streckung von einem Streckungszentrum ausgehend um einen Streckungsfaktor k erfolgt

• jedem Punkt der Ausgangsfigur wird ein Bildpunkt der ähnlichen Figur zugeordnet
• jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einem gemeinsamen Strahl, welcher vom Streckungszentrum ausgeht
• die Seiten welche die Punkte verbinden und die Seiten welche die Bildpunkte verbinden, verlaufen parallel
• alle Punkte einer ähnlichen Figur und alle zugehörigen Bildpunkte sind vom Streckungszentrum um das k-fache vom selben Streckungsfaktor entfernt

Das Streckungszentrum liegt in einem Eckpunkt der Figur

Das Streckungszentrum liegt außerhalb der Figur

Das Streckungszentrum liegt innerhalb der Figur

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Bild

Allgemeines Viereck

Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Eckpunkten, vier Seiten und zwei Diagonalen. Ein konvexes Viereck erfordert 5 Bestimmungsstücke, darunter muss mindestens eine Seite sein. 5 Bestimmungsstücke führen bei konkaven Ecken zu mehrdeutigen Lösungen

Beschriftung vom allgemeinen Viereck

• Die Beschriftung der vier Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben A, B, C, D, beginnend mit der linken unteren Ecke und erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
• Die Beschriftung der vier Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben, wobei: \(a = \overline {AB} ;\,\,\,\,\,b = \overline {BC} ;\,\,\,\,\,c = \overline {CD} ;\,\,\,\,\,d = \overline {DA} ;\)
• Die Beschriftung der vier Innenwinkel erfolgt mit griechischen Kleinbuchstaben, wobei den Scheitelpunkten A, B, C, D die Winkel \(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \) sprich Alpha, Beta, Gamma, Delta zugeordnet sind
• Die Beschriftung der beiden Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben \(e = {d_1} = \overline {AC} ;\,\,\,\,\,f = {d_2} = \overline {BD} ;\)

Spezielle Vierecke

• Das Viereck heißt konvex, wenn beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen.
• Liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks, so hat das Viereck eine konkave Ecke.
• Spezielle Vierecke sind das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Deltoid, das Parallelogramm und das Trapez.
• Es gibt Vierecke mit Umkreis, sogenannte Sehnenvierecke und solche ohne Umkreis.
• Es gibt Vierecke mit Inkreis, sogenannte Tangentenvierecke und solche ohne Inkreis.

Umfang vom allgemeinen Viereck

Der Umfang vom allgemeinen Viereck entspricht der Summe der vier Seiten

\(U = a + b + c + d\)

Winkelsumme im allgemeinen Viereck

Die Summe der Innenwinkel eines allgemeinen Vierecks beträgt 360°. Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen. Vier Innenwinkel zählen nur als drei Bestimmungsstücke, da sich der 4. Winkel ergibt.

\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)

Flächeninhalt vom allgemeinen Viereck

Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen berechnen

\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)

Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck

Die Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen

\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr} \)

Illustration eines allgemeinen Vierecks

Bild

Beispiel: Von einem allgemeinen konvexen Viereck, wie oben dargestellt,  sind alle 4 Seiten und ein Winkel gegeben.

Berechne die beide Diagonalen und die drei fehlenden Innenwinkel!

Gegeben: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \)

Die Länge der 1. Diagonale e im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen:

\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \)

Mit Hilfe vom 1. Teil des Kosinussatzes ergibt sich die 1. Diagonale e wie folgt:

\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \)

Mit Hilfe vom 2. Teil des Kosinussatzes berechnen wir den Winkel \(\angle cd = \delta \) wie folgt:

\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {e^2} = {c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| { - {c^2} - {d^2}} \right.\\ {e^2} - {c^2} - {d^2} = - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)} \right.\\ \cos \left( \delta \right) = \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)}}\\ \delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \end{array}\)

Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \)

Entlang der Diagonale e zerfällt das allgemeine Viereck in zwei allgemeine Dreiecke, deren Flächen wir wie folgt berechnen können:
\(\begin{array}{l} {A_1} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right)\\ {A_2} = \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \end{array}\)

 Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\)

Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen wie folgt berechnen:

\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)

Die einzige Unbekannte in dieser Flächenformel ist die 2. Diagonale f, die wir wie folgt berechnen können:

\(\begin{array}{l} A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {A^{^2}} = \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot 16} \right.\\ 16 \cdot {A^2} = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\,\,\,\,\,\left| { + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,} \right.\\ 16 \cdot {A^2} + {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\, = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2}\,\,\,\,\,\left| {:4{e^2}} \right.\\ {f^2} = \dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right.\\ f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \end{array}\)

Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d₂=f

Mit Hilfe der bekannten Länge der 2. Diagonale f und zweier bekannter Seiten im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz die jeweils eingeschlossenen Winkel \(\alpha ,\,\gamma \) wie folgt berechnen:
\(\eqalign{ & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \cr & {f^2} = {a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\left| - \right.\left( {{a^2} + {d^2}} \right) \cr & {f^2} - {a^2} - {d^2} = - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot a \cdot d} \right)} \right. \cr & \cos \left( \alpha \right) = - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}} \cr & \alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \cr & \cr & {\text{analog anzuschreiben:}} \cr & \gamma = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2 \cdot b \cdot c}}} \right) \cr & {\text{oder}} \cr & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \cr} \)

 Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d₁=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d₂=f, \(\angle da = \alpha \), \(\angle bc = \gamma \)

Anhand eines Zahlenbeispiels ergibt sich:

Die 4 Seiten und ein Winkel sind wie folgt gegeben:
\(\eqalign{ & a = 8{\text{ cm}} \cr & b = 5,1{\text{ cm}} \cr & c = 5,1{\text{ cm}} \cr & d = 4,47{\text{ cm}} \cr & \beta = 78,69^\circ \cr} \)

Wie setzen in obige Gleichungen ein, und erhalten

\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \approx \sqrt {{8^2} + {{5,1}^2} - 2 \cdot 8*5,1*\cos \left( {78,69^\circ } \right)} \approx 8,6\)

\(\delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{8,6}^2} - {{5,1}^2} - {{4,47}^2}}}{{2 \cdot 5,1 \cdot 4,47}}} \right) \approx 127,9^\circ \)

\(A = {A_1} + {A_2} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right) + \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \approx \dfrac{{8,6 \cdot 5,1}}{2}\sin \left( {78,69^\circ } \right) + \dfrac{{5,1 \cdot 4,47}}{2}\sin \left( {127,9^\circ } \right) \approx 30,5\)

\(f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \approx \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {{30,5}^2} + \left( {{{5,1}^2} + {{4,47}^2} + {8^2} - {{5,1}^2}} \right)}}{{4 \cdot {{8,6}^2}}}} \approx 7,11\)

\(\alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{7.11}^2} - {8^2} - {{4.47}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 4.47}}} \right) \approx 62^\circ \)

\(\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \approx 360^\circ - 62^\circ - 78,69^\circ - 127,0^\circ \approx 92,31^\circ \)

→ Die Länge der 1. Diagonale e beträgt 8,6 cm, die Länge der 2. Diagonale f beträgt 7,11 cm.

→ Die fehlenden Winkel betragen \(\alpha \approx 62^\circ ,\,\,\,\gamma \approx 92,3^\circ ,\,\,\delta \approx 127,9\)

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

Ein Ziel der Geometrie ist die Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade

Euklidische ebene Geometrie

Die euklidische ebene Geometrie dient der der Abbildung vom uns wohlvertrauten dreidimensionalen Raum

• Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g durch diese Punkte. Diese Gerade g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten
• Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es genau eine Gerade h parallel zu g durch P („Parallelenaxiom“)
• Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad

Nichteuklidische Geometrie

Die nichteuklidische Geometrie basiert auf der Negation vom Parallelenaxiom: Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden. In der nichteuklidischen Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie krümmen Schwerefelder den Raum. Ungeklärt ist ob das Universum hyperbolisch oder elliptisch gekrümmt ist.

Nichteuklidische hyperbolische Geometrie

Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie kommt ohne dem Parallelenaxiom aus

• Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g, welche beide Punkte enthält.
• Zu jeder Gerade g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es unendlich viele Parallelen zu Geraden g durch P
• Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer kleiner als 180 Grad

Nichteuklidische sphärische Geometrie der Kugel

In der nichteuklidischen sphärischen Geometrie der Kugel gilt

• Zu je zwei Punkten gibt es einen Großkreis, welcher beide Punkte enthält und der kürzeste Abstand auf der Oberfläche zwischen den beiden Punkten ist. Ein Großkreis entsteht durch den Schnitt einer Ebene welche die beiden Punkte und den Kugelmittelpunkt enthält mit der Kugeloberfläche
• Es gibt keine parallelen Geraden
• Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer größer 180 Grad

Nichteuklidische elliptische Geometrie

Die nichteuklidische elliptische Geometrie ist eine Verallgemeinerung der sphärischen Geometrie für Räume mit konstanter positiver Krümmung.

Absolute Geometrie

Die absolute Geometrie umfasst Sätze über den n-dimensionalen Raum, die sowohl in der euklidischen wie auch in der nichteuklidischen Geometrie gelten.

Vektoralgebra

Die Vektoralgebra beschäftigt sich mit den Grundrechenregeln für Vektoren

Addition zweier Vektoren

Bei der Addition von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung addiert. Zwei Vektoren werden graphisch addiert, \(\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b\) indem man die Vektoren aneinander hängt. Der Summenvektor \(\overrightarrow s\) stellt die Diagonale eines durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms dar.

\(\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} + {b_x}}\\ {{a_y} + {b_y}}\\ {{a_z} + {b_z}} \end{array}} \right)\)

Rechenregeln für die Vektoraddition

\(\begin{array}{l} \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \\ \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \\ k \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k \cdot \overrightarrow a + k \cdot \overrightarrow b \\ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \end{array}\)

Illustration zur Addition zweier Vektoren

Subtraktion zweier Vektoren

Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung subtrahiert. Zwei Vektoren werden graphisch subtrahiert, \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b\) indem man den inversen Vektor von \(\overrightarrow b\) (gleich lang wie b, aber umgekehrte Richtung), also – b, addiert. Das Resultat einer Vektorsubtraktion wird als Differenzvektor bezeichnet.

\(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} - {b_x}}\\ {{a_y} - {b_y}}\\ {{a_z} - {b_z}} \end{array}} \right)\)

Illustration zur Subtraktion zweier Vektoren

Kommutativgesetz der Vektoralgebra

Das Kommutativgesetz der Vektoralgebra besagt, dass bei der Addition von Vektoren die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf.

\(\overrightarrow A + \overrightarrow B = \overrightarrow B + \overrightarrow A \)

Distributivgesetze der Vektoralgebra

Das Distributivgesetz der Vektoralgebra besagt, dass man reelle Zahlen aus einer Summe heraushaben kann, wenn bei dieser Summe ein und der selbe Vektor mit unterschiedlichen reellen Zahlen multipliziert wird.

\(\eqalign{ & m\left( {n\overrightarrow A } \right) = \left( {mn} \right)\overrightarrow A = n\left( {m\overrightarrow A } \right) \cr & \left( {m + n} \right)\overrightarrow A = m\overrightarrow A + n\overrightarrow A \cr & m\left( {\overrightarrow A + \overrightarrow B } \right) = m\overrightarrow A + m\overrightarrow B \cr} \)

Assoziativgesetz der Vektoralgebra

Das Assoziativgesetz der Vektoralgebra besagt, dass bei der Addition von Vektoren die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen.

\(\overrightarrow A + \left( {\overrightarrow B + \overrightarrow C } \right) = \left( {\overrightarrow A + \overrightarrow B } \right) + \overrightarrow C \)

Allgemeines Dreieck

Ein allgemeines Dreieck erhält man, indem man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken verbindet.

\(\begin{array}{l} a \ne b \ne c\\ \gamma \ne 90^\circ \end{array}\)

• Mit drei Bestimmungsstücken (Seitenlänge, Innenwinkel), von denen mindestens eines eine Seitenlänge sein muss, ist ein Dreieck eindeutig definiert
• Rechtwinkelige Dreiecke sind in der technischen Praxis der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Dreiecke. Nur für diesen Spezialfall gilt der Satz des Pythagoras. Mit Hilfe der Höhen kann man allgemeine Dreiecke in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen.
• Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber
• Mindestens zwei der drei Innenwinkel sind spitze Winkel

Beschriftung im allgemeinen Dreieck

Im allgemeinen Dreieck ist es üblich, die Dreieckseiten mit a, b und c zu beschriftet. Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse – mit „c“ zu bezeichnen. Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung, d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben sind:

• Der Seite „a“ gegenüber liegt der Winkel „\(\alpha\)“
• Der Seite „b“ gegenüber liegt der Winkel „\(\beta\)“
• Der Seite „c“ gegenüber liegt der Winkel „\(\gamma\)“
• Die Winkel und die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet

Illustration zur Beschriftung im allgemeinen Dreieck

Dreiecksungleichungen

Die Dreiecksungleichungen besagen, dass die Summe zweier Seitenlängen immer größer ist, als die dritte Seite

\(a + b > c;\,\,\,\,\,a + c > b;\,\,\,\,\,b + c > a\)

Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

• Innenwinkel: Die Summe aller 3 Innenwinkel beträgt 180°
  \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
• Außenwinkel: Die Summe aller 3 Außenwinkel beträgt 360°
• Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel (er ergänzt den Innenwinkel auf 180°) ist immer gleich groß, wie die Summe der zwei nicht anliegenden Innenwinkel

Illustration zur Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

Sinussatz

Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.

Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.

\(\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }}\)

Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.

Kosinussatz

Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Wichtig: Der Kosinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz für Dreiecke MIT rechtem Winkel. Man sieht das auch sofort, da der Subtrahend im Kosinussatz zu null wird, weil der Kosinus von 90° null ist. Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

\(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \left( {\angle ac} \right)\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos \left( {\angle ab} \right) \end{array}\)

Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.

Umfang eines allgemeinen Dreiecks

Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)

Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)

Trigonometrische Flächenformel

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus dem halben Produkt zweier Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels:

\(A = \dfrac{{b \cdot c}}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{{a \cdot c}}{2} \cdot \sin \beta = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \gamma\)

Heron'sche Flächenformel

Die Heron'sche Flächenformel dient zur Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks, wenn alle 3 Seitenlängen a, b und c gegeben sind. Man erspart es sich dabei den Zwischenschritt, eine der Dreieckshöhen auszurechnen.

\(\begin{array}{l} s = \dfrac{{a + b + c}}{2}\\ A = \sqrt {s \cdot \left( {s - a} \right) \cdot \left( {s - b} \right) \cdot \left( {s - c} \right)} \end{array}\)

Aufteilung eines allgemeinen Dreiecks in zwei rechtwinkelige Dreiecke

Mit Hilfe der Höhen ist es möglich aus einem allgemeinen Dreieck zwei rechtwinkelige Dreiecke zu machen, für die dann wieder der Satz vom Pythagoras gilt.

\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \gamma = c \cdot \sin \beta \cr & {h_b} = c \cdot \sin \alpha = a \cdot \sin \gamma \cr & {h_c} = a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha \cr} \)

Für die Gültigkeit obiger Formeln muss die Seite c nicht die Hypotenuse sein, der Seite a muss aber der Winkel \(\alpha \) gegenüber liegen, usw.

Illustration eines allgemeinen Dreiecks, welches entlang der Höhe h_b in zwei rechtwinkelige Dreiecke aufgeteilt wird

Umkreisradius vom allgemeinen Dreieck

Jedes allgemeine Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt auf der Streckensymmetrale liegt. Bei spitzwinkeligen Dreiecken liegt er im Dreiecksinneren, bei rechtwinkeligen Dreiecken liegt er am Mittelkreis der Hypotenuse und bei einem Dreieck bei dem ein Winkel größer als 90° ist, liegt er außerhalb vom Dreieck.

\({r_U} = \dfrac{a}{{2 \cdot \sin \alpha }} = \dfrac{b}{{2 \cdot \sin \beta }} = \dfrac{c}{{2 \cdot \sin \gamma }} = \dfrac{{a \cdot b \cdot c}}{{4 \cdot A}}\)

Illustration vom Umkreis eines allgemeinen Dreiecks

Zylinder

Ein Zylinder, auch Drehzylinder genannt, ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie h auf die Grund- und Deckfläche normal steht.

Volumen vom Zylinder

Das Volumen vom Zylinder ist das Produkt aus der kreisförmigen Grundfläche mal der Höhe vom Zylinder. Falls h=2r gilt, nennt man den Zylinder gleichseitig.

Für das Volumen des Zylinders gilt
\(V = {r^2}\pi h=Gh\)

Oberfläche vom Zylinder

Die Oberfläche vom Zylinder setzt sich aus der kreisförmigen Grund- und der Deckfläche sowie dem rechteckigen Mantel zusammen

\(G = D = {r^2} \cdot \pi \)

Für die Oberfläche des Zylinders gilt
\(O = 2G + M = 2{r^2}\pi + 2r\pi h\)

Netz vom Zylinder

Das Netz vom Zylinder setzt sich aus der rechteckigen Mantelfläche und der kreisförmigen Grund- und Deckfläche zusammen. Die Länge der Mantelfläche entspricht dem Umfang vom Zylinder. Die Höhe der Mantelfläche entspricht der Höhe vom Zylinder. Eine Höhenlinie, die nicht im Inneren vom Zylinder liegt, sondern an der den Zylinder begrenzenden Mantelfläche, nennt man Mantellinie. Die Mantellinie ist somit die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt auf der Kreislinie der Grundfläche zum lotrecht darüber liegenden Punkt auf der Kreislinie der Deckfläche. Alle Zylinderhöhen und alle Mantellinien stehen normal auf der Grund- und der Deckfläche

Raumdiagonale im Zylinder

Die Raumdiagonale im Zylinder wir durch einen Durchmesser der Grund- bzw. Deckfläche und durch eine Mantellinie mit der Länge h aufgespannt. Ihre Länge errechnet sich daher mit Hilfe vom Satz von Pythagoras.

\({d_R} = \sqrt {{d^2} + {h^2}} \)

Illustration vom Zylinder

Winkelbeziehungen im rechtwinkeligen Dreieck

Winkelfunktion ist ein Oberbegriff für Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Das sind Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck. Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten. Betrachtet man einen der beiden nicht rechten Winkel und nennt man ihn α so heißt jene Kathete die am Winkel α angrenzt die Ankathete und jene Kathete die dem Winkel α gegenüber liegt die Gegenkathete. 

• Beachte: Die Bezeichnung Ankathete bzw. Gegenkathete hängt ausschließlich vom Winkel ab, auf den sich die Aussage bezieht. Ein und dieselbe kurze Seite vom Dreieck ist für den einen Winkel die Ankathete und für den anderen Winkel die Gegenkathete.
• Wichtig: Lerne daher bitte nie die Winkelfunktionen auf Basis der Bezeichnungen a,b oder c von den Dreieckseiten sondern immer mit den Bezeichnungen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse!

Sinus

Der Sinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Sinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)

Kosinus

Der Kosinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kosinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\cos \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)

Tangens

Der Tangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Tangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\tan \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Kotangens

Der Kotangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Gegenkathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kotangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\cot \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\tan \alpha }}\)

Sekans

Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete und somit der Kehrwert der Kosinusfunktion.

\(\eqalign{ & \sec \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{1}{{\cos \left( \alpha \right)}} \cr & {\sec ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\tan ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)

Kosekans

Der Kosekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete und somit der Kehrwert der Sinusfunktion.

\(\eqalign{ & \csc \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\sin \left( \alpha \right)}} \cr & {\csc ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\cot ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)

Gleichung des Kreises

Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.

\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt

Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.

Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)

Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt

Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben

Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)

Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)

Lagebeziehung Punkt und Kreis

Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis  liegen

Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
 

Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
 

Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Kreis

​Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.

• Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S₁, S₂ schneidet.
• Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
• Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.

Berührbedingung Gerade an Kreis

Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spezialfall: M = Ursprung:

\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spaltform der Tangentengleichung des Kreises

Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)

Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)

Pyramide

Eine Pyramide wird nach dem n-Eck benannt, welches die Grundfläche der Pyramide bildet. Jede Pyramide hat eine Spitze, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Normalabstand von der Spitze zur Grundfläche der Pyramide.

• Ist die Grundfläche ein Dreieck, so handelt es sich um eine dreiseitige Pyramide.
• Ist die Grundfläche ein Viereck, so handelt es sich um eine vierseitige Pyramide
• Ist die Grundfläche ein n-Eck, so handelt es sich um eine n-seitige Pyramide

Illustration vom Netz einer dreiseitigen Pyramide

Das Netz einer dreiseitigen Pyramide erhält man, wenn man die drei Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche ABC dreht. Benachbarte Seitenflächen haben eine gemeinsame Kante (s₁, s₂, s₃)

Die Illustration zeigt links die Pyramide von schräg oben betrachtet und rechts daneben das Netz der Pyramide

Regelmäßige Pyramide

Eine regelmäßige Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen.

Gerade Pyramide

Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein n-Eck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom n-Eck liegt

Regelmäßige gerade Pyramide

Eine regelmäßige gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom regelmäßigen n-Eck liegt

\(\eqalign{ & V = \dfrac{{G \cdot h}}{3} \cr & O = G + M \cr}\)

Illustration einer regelmäßigen 6-eckigen geraden Pyramide

Quadratische gerade Pyramide

Eine gerade quadratische Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Mantelfläche aus 4 gleichschenkeligen kongruenten Dreiecken besteht. Der Mittelpunkt der Grundfläche, ist zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h.

\(\eqalign{ & O = G + M = {a^2} + 4a\dfrac{{{h_a}}}{2} \cr & V = G\dfrac{h}{3} = {a^2}\dfrac{h}{3} \cr & h_a^2 = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {h^2}\,\,\,\,\,(PL) \cr & {s^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + h_a^2\,\,\,\,\,(PL) \cr}\)

Illustration einer quadratischen geraden Pyramide

Kugel

Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung eines Kreises um einen Kreisdurchmesser entsteht. Die Kugeloberfläche ist eine Fläche die einer Koordinatengleichung zweiter Ordnung genügt und kann daher nicht in der Ebene verzerrungsfrei ausgebreitet werden. Der Ausdruck "Kugel" wird sowohl für die Kugeloberfläche als auch für den Kugelkörper verwendet. Die Kugel hat keine Ecken und keine Kanten und nur eine Fläche.

Großkreis

Ein Großkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene schneidet, die durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Der Durchmesser vom Großkreis entspricht dabei dem Durchmesser der Kugel. Entlang eines Großkreises verläuft die kürzeste Verbindung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche.

Kleinkreis

Ein Kleinkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebenen schneidet, die nicht durch den Kugelmittelpunkt verläuft.

Illustration von Groß- und Kleinkreis

Orthodrome bzw. Luftlinie

Eine Orthodrome ist ein Teilstück eines Großkreises. So versuchen Flugzeuge, die zwei weit entfernte Städte verbinden, möglichst entlang eines Großkreises zu fliegen, die sogenannte Luftlinie, weil so die geringste Flugstrecke zurückgelegt werden muss. Während des Fluges, außer der Flug geht exakt in N-S-Richtung, muss dabei der Kurswinkel, das ist der Winkel zwischen Flugrichtung und Norden ständig angepasst werden.Alle Längenkreise (Meridiane) sind Orthodrome, während der Äquator als einziger Breitengrad eine Orthodrome ist. Alle anderen Breitenkreise sind Kleinkreise.

Loxodrome bzw. Kompasskurs

Eine Loxodrome ist eine Kurve auf der Kugeloberfläche, die zwei Punkte so verbindet, dass der Winkel zu den Meridianen (verlaufen in N-S Richtung) unveränderlich, der Kurswinkel also konstant, ist. Dabei nimmt man aber einen Umweg im Vergleich zur Luftlinie in kauf.

Oberfläche der Kugel

Die Oberfläche einer Kugel beträgt das vierfache der Fläche eines Großkreises. Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, den gleichen Abstand r haben.

\(\eqalign{ & d = 2 \cdot r \cr & U = 2 \cdot r \cdot \pi \cr & O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi \cr} \)

Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& d = 2 \cdot r = 2 \cdot 5cm = 10cm \cr
& U = 2 \cdot r \cdot \pi = = 2 \cdot 5cm \cdot \pi = 31,416cm \cr
& O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi = 4 \cdot {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \pi = 314,159c{m^2} \cr} \)

Volumen der Kugel

Das Kugelvolumen ist jener Rauminhalt, welcher durch die Kugeloberfläche eingeschlossen wird. Der Kugelkörper setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, einen Abstand kleiner gleich r haben.

\(V = \dfrac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi \)

Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& V = \frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot {\left( {5cm} \right)^3} \cdot \pi = 523,599c{m^3} \cr} \)

Illustration einer Kugel

Geradengleichungen und deren vier Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie oder Hauptform der Geraden.

Bezeichnungen

Parameterform der Geradengleichung

Bei der Parameterform der Geraden benötigt man einen beliebigen Punkt, den "Aufpunkt" A bzw. P auf der Geraden und einen Vektor \(\overrightarrow r \) oder einen zweiten Punkt B. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann eine Gerade in der Ebene und im Raum eindeutig festgelegt werden. Der Name "Parameterform" leitet sich davon ab, dass man alle Punkte der Geraden dadurch erhält, indem man für den Parameter \(\lambda\) unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt, wobei: \(\lambda \in {\Bbb R}\).

Punkt-Richtungsform der Geradengleichung

Bei der Punkt-Richtungsform der Geraden setzt am Aufpunkt A der Richtungsvektor r auf, der in die Richtung der Geraden zeigt. Die Gerade wird also durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert

\(\begin{array}{l} g:X = A + \lambda \cdot \overrightarrow r \\ g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Zwei-Punktform der Geradengleichung

Bei der Zwei-Punktform der Geraden setzt an den Aufpunkt A ein Vektor an, der vom Aufpunkt zu einem beliebigen zweiten Punkt B auf der Geraden weist. Die Gerade wird also durch zwei Punkte definiert
\(g:X = A + \lambda \overrightarrow { \cdot AB} \)

Normalform der Geradengleichung (nur in R² )

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor \(\overrightarrow n \) benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf die Gerade g steht. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann zwar eine Gerade in der Ebene nicht aber im Raum eindeutig festgelegt werden.

Vektorschreibweise der Normalform der Geradengleichung

Sind von einer Geraden g ein Punkt P und ihr Normalvektor \( \overrightarrow n\) gegeben, so gilt für alle Punkte X der Geraden, dass der bekannte Normalvektor \( \overrightarrow n\) und alle Vektoren \(\overrightarrow {PX} \) normal auf einander stehen, womit ihr Skalarprodukt Null ist. Die Gerade ist also duch einen Punkt und eine Normale auf die eigentliche Gerade definiert.
\(\begin{array}{l} g:\overrightarrow n \cdot X - \overrightarrow n \cdot P = 0\\ g : \overrightarrow n \cdot \left( {X - P} \right) = 0 \end{array}\)

Hesse'sche Normalform der Geradengleichung

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor n benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf der Geraden g steht. Ersetzt man den Normalvektor \( \overrightarrow n\) durch dessen Einheitsvektor \(\overrightarrow {{n_0}}\), so erhält man die Hesse'sche Normalform. Die Gerade ist also durch einen Punkt und einen Vektor der Länge 1 in Richtung der Normalen auf die eigentliche Gerade definiert.

\(\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {X - P} \right) = 0\)

Allgemeine Form der Geradengleichung

Bei der allgmeinen bzw. impliziten Form einer Geraden sind die Koeffizienten a und b zugleich die Koordinaten des Normalvektors \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right)\) und die Variablen x und y sind die Koordinaten aller jener Punkte \(X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\), die auf der Geraden liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a und b jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.

\(\begin{array}{l} g:a \cdot x + b \cdot y + c = 0\\ g(x) = - \dfrac{a}{b} \cdot x - \dfrac{c}{b}\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) \end{array}\)

Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten vom Normalvektor.

Hauptform der Geradengleichung

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Hauptform einer Geraden,
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & y = k\left( {x - {A_x}} \right) + {A_y} \cr}\)

Umrechnung Parameterform in die parameterfreie Hauptform der Geraden

Um die Geradengleichung von der Parameterform \(X = P +\lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) +\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) in die parameterfreie (Haupt)Form \(y = kx + d\) zu bringen, spaltet man sie in eine Gleichung für die x-Koordinate und in eine Gleichung für die y-Koordinate auf und eliminiert den Parameter t

\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{P_x}}& + &{\lambda \cdot {r_x}}\\ y& = &{{P_y}}& + &{\lambda \cdot {r_y}} \end{array}\)

Umrechnung parameterfrei Hauptform in die Parameterform der Geraden

Um die Geradengleichung von der parameterfreien (Haupt)Form \(y = kx + d\) in die Parameterform \(X = P + \lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) zu bringen,

• ermittelt man einen bel. Punkt auf der Geraden, z. B.: in dem man y=0 setzt
• ermittelt man den Normalvektor \(\overrightarrow n\), dessen Koordinaten die Koeffizienten der Hauptform \(y - kx = d\) sind, und wendet anschließend die Links-Kipp-Regel an: \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_y}}\\ {{n_x}} \end{array}} \right)\)

Umrechnung von der Parameterform auf die allgemeine Form der Geraden

Gegeben ist die Parameterform in Koordinatenschreibweise
\(g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\)

1. Schritt: Zeilenweises Anschreiben der Parameterform:
\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{A_x}}& + &{t \cdot {a_x}}\\ y& = &{{A_y}}& + &{t \cdot {a_y}} \end{array}\)

2. Schritt: t eliminieren vom Parameter t:
\(\begin{array}{l} y - {A_y} = t \cdot {a_y} \to t = \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}}\\ x = {A_x} + \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}} \cdot {a_x}\,\,\,\,\,\left| {:{a_x}} \right.\\ \dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} + \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}} \end{array}\)

3. Schritt: Anschreiben in der allgemeinen Form:
\(\dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x - \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}}\)

Umrechnung von der Normalform bzw. der Parameterform in die Hauptform der Geraden

\(\begin{array}{l} k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \dfrac{{{n_x}}}{{{n_y}}} = \dfrac{{{B_y} - {A_y}}}{{{B_x} - {A_x}}} = tan\left( \alpha \right) = - \dfrac{a}{b}\\ d = \dfrac{c}{{{n_y}}} = - \dfrac{c}{b} \end{array}\)

Zylinderstumpf

Ein Zylinderstumpf entsteht, wenn man einen Drehzylinder mit einer Ebene schneidet. Der Zylinderstumpf besteht dann aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer elliptischen Deckfläche und einem Mantel. Im Spezialfall, dass die Schnittebene parallel zur Grundfläche ist, entsteht ein neuer, weniger hoher Drehzylinder.

Volumen vom Zylinderstumpf

Das Volumen vom Zylinderstumpf setzt sich aus der Grundfläche mal maximaler Zylinderhöhe abzüglich der Grundfläche mal der halben Höhendifferenz zwischen der maximalen und der minimalen Zylinderhöhe zusammen.

\(V = {r^2} \cdot \pi \cdot {h_{\max }} - \dfrac{1}{2} \cdot {r^2} \cdot \pi \cdot \left( {{h_{\max }} - {h_{\min }}} \right)\)

Illustration vom Zylinderstumpf

Wenn die Schnittebene nicht parallel zur Grundebene ist, dann besteht der Zylinderstumpf aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer elliptischen Deckfläche und einem Mantel.

Netz vom Zylinderstumpf

Das Netz vom Zylinderstumpf besteht aus einer kreisförmigen Grundfläche, einer elliptischen Deckfläche und einer rechteck-ähnlichen Figur, bei der die Höhe von einem Mindestwert zu einem Maximalwert anwächst.