Geometrie

Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Anayltische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven.

Hier findest du folgende Inhalte

72 Formeln

26 Aufgaben

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Formeln

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Euklidische und nichteuklidische Geometrie

Ein Ziel der Geometrie ist die Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade

Euklidische ebene Geometrie

Die euklidische ebene Geometrie dient der der Abbildung vom uns wohlvertrauten dreidimensionalen Raum

Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g durch diese Punkte. Diese Gerade g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten
Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es genau eine Gerade h parallel zu g durch P („Parallelenaxiom“)
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad

Nichteuklidische Geometrie

Die nichteuklidische Geometrie basiert auf der Negation vom Parallelenaxiom: Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden. In der nichteuklidischen Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie krümmen Schwerefelder den Raum. Ungeklärt ist ob das Universum hyperbolisch oder elliptisch gekrümmt ist.

Nichteuklidische hyperbolische Geometrie

Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie kommt ohne dem Parallelenaxiom aus

Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g, welche beide Punkte enthält.
Zu jeder Gerade g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es unendlich viele Parallelen zu Geraden g durch P
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer kleiner als 180 Grad

Nichteuklidische sphärische Geometrie der Kugel

In der nichteuklidischen sphärischen Geometrie der Kugel gilt

Zu je zwei Punkten gibt es einen Großkreis, welcher beide Punkte enthält und der kürzeste Abstand auf der Oberfläche zwischen den beiden Punkten ist. Ein Großkreis entsteht durch den Schnitt einer Ebene welche die beiden Punkte und den Kugelmittelpunkt enthält mit der Kugeloberfläche
Es gibt keine parallelen Geraden
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer größer 180 Grad

Nichteuklidische elliptische Geometrie

Die nichteuklidische elliptische Geometrie ist eine Verallgemeinerung der sphärischen Geometrie für Räume mit konstanter positiver Krümmung.

Absolute Geometrie

Die absolute Geometrie umfasst Sätze über den n-dimensionalen Raum, die sowohl in der euklidischen wie auch in der nichteuklidischen Geometrie gelten.

Parallelenaxiom

Euklidische Geometrie

Nichteuklidische Geometrie

Absolute Geometrie

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Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern

Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstieg in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente, ausgehend vom einfachsten Objekt, dem "Punkt".

Punkt

Ein Punkt repräsentiert eine konkrete Position in einem Koordinatensystem. Der Punkt ist ein null-dimensionales Objekt, also ein Objekt ohne Ausdehnung (ohne Länge, Breite oder Höhe). Daher hat er auch keine physikalische Einheit. Punkte werden mit Großbuchstaben beschriftet, etwa P₁, P₂,...

Linie

Die Linie ist ein Oberbegriff für zusammenhängende eindimensionale geometrische Objekte wie Geraden oder Kurven. Als eindimensionales Objekt hat die Linie eine Länge und somit die physikalische Einheit "Meter". Linien werden mit Kleinbuchstagen beschriftet, etwa mit g, f. Gerade werden mit den Mitteln der linearen Geometrie beschrieben, Kurven mit den Mitteln der nichtlinearen Geometrie.

Gerade

Die Gerade ist eine unendlich lange Linie ohne Begrenzungspunkte. Eine Gerade wird durch 2 Punkte definiert und verbindet diese durch eine nicht gekrümmte Linie.

Strahl bzw. Halbgerade

Die Halbgerade ist eine unendlich lange Linie, die von einem Begrenzungspunkt ausgeht.

Strecke

Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten. Die beiden Punkte begrenzen die Strecke, indem sie den Anfangs und den Endpunkt der Strecke festlegen. Entlang des Weges vom Anfangs- zum Endpunkt liegen unendlich viele Punkte. Wenn die Strecke eine Länge ungleich null hat, dann stellt sie eine unendliche Punktmenge dar.

Geodäte

Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten auf gekrümmten Flächen (Kugeloberfläche) oder in der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie

Kurve

Eine Kurve ist eine gekrümmte Linie. Obwohl die Punkte der Kurve in einer Ebene oder sogar im Raum liegen, ist die Kurve eindimensional, weil man sich auf ihr nur in eine Richtung bzw. deren Gegenrichtung bewegen kann. Mandelbrot erkannte, dass es Kurven (Küstenlinien) gibt, die ein Mittelding zwischen Linie und Fläche sind, und führte neben den ganzzahligen Dimensionen die gebrochenzahlige fraktale Dimensionen ein.

Geometrische Figur

Eine geometrische Figur ist eine Teilmenge von Punkten, die entweder in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum liegen. Letztere werden auch als Körper bezeichnet. Die einfachste geometrische Figur ist die Gerade, bzw. die Strecke als deren Teilmenge.

Geometrischer Körper

Geometrische Körper kann man anhand ihrer Kanten, Ecken und Begrenzungsflächen unterscheiden

Stereometrie

Die Stereometrie ist jenes Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit dreidimensionalen Gebilden beschäftigt. Dazu gehören speziell die Berechnung vom Volumen und von der Oberfläche des Körpers.

Kanten eines Körpers

Kanten entstehen dort, wo sich 2 Begrenzungsflächen eines Körpers schneiden.

Ecken eines Körpers

Ecken entstehen dort, wo sich 3 Kanten eines Körpers schneiden.

Oberfläche eines Körpers

Die Oberfläche eines Körpers setzt sich zusammen aus der Mantelfläche plus den Grund- bzw. Deckflächen. Die Oberfläche ist also die Summe aller Begrenzungsflächen. Oberfläche = Mantel(fläche) + Grundfläche + Deckfläche

Netz eines Körpers

Als Netz bezeichnet man die in einer Ebene ausgebreitete Oberfläche. Breitet man alle Begrenzungsflächen in einer Ebene aus, so erhält man das Netz des Körpers

Mantelfläche eines Körpers

Die Mantelfläche eines Körpers ist dessen Oberfläche, abzüglich der Grund- und der Deckfläche

Diagonale in geometrischen Figuren und Körpern

Als Diagonale bezeichnet man die kürzest mögliche Verbindung zweier einander gegenüber liegender Eckpunkte in Vielecken oder einander gegenüber liegender Ecken eines Körpers.

Geometrische Grundbegriffe

Oberfläche eines Körpers

Netz eines Körpers

Diagonale in geometrischen Figuren und Körpern

Mantelfläche eines Körpers

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Arten von Winkel

Ein Winkel besteht aus einem Scheitel und aus zwei Schenkel. Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. Für Berechnungen wird zumeist der kleinere Winkel gewählt. Winkel werden bevorzugt mit griechischen Buchstaben bezeichnet und in Grad gemessen. Ein Grad ist der dreihundertsechzigste Teil eines Kreises. Konstruiert werden Winkel mit dem Geodreieck, dessen Nullpunkt auf dem Scheitel des Winkels und dessen Kante auf einem der beiden Schenkel des Winkels angelegt wird. Danach kann man den Winkel einzeichnen und den zweiten Schenkel zeichnen, oder wenn bereits beide Schenkel gegeben sind, die Weite des Winkels bestimmen.

\(\alpha \) Alpha
\(\beta \) Beta
\(\gamma \) Gamma
\(\delta \) Delta

Scheitel eines Winkels

Der Scheitel eines Winkels ist der Schnittpunkt zweier einander schneidender Geraden.

Schenkel eines Winkels

Die Schenkel eines Winkels sind zwei in einer Ebene liegende und einander schneidende Strahlen.

Drehsinn eines Winkels

Man unterscheidet Winkel nach dem Drehsinn

Gegen den Uhrzeigersinn = mathematisch positiver Drehsinn
Im Uhrzeigersinn = mathematisch negativer Drehsinn

Weite des Winkels

Man unterscheidet die Winkel nach dem Ausmaß ihrer Öffnung, also dem Öffnungswinkel bzw. der Winkelweite

Nullwinkel: \(\alpha = 0^\circ\)
Spitzer Winkel: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \)
Rechter Winkel: \(\alpha = 90^\circ\): → nur für diesen Winkel gilt der Satz des Pythagoras
Stumpfer Winkel: \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)
Gestreckter Winkel: \(\alpha = 180^\circ\)
Überstumpfer / Erhabener Winkel: \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\)
Voller Winkel: \(\alpha = 360^\circ\)

Nullwinkel

Der Öffnungswinkel eines Nullwinkels beträgt \(\alpha = 0^\circ\)

Spitzer Winkel

Der Öffnungswinkel eines spitzen Winkels liegt zwischen \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \)

Rechter Winkel

Der Öffnungswinkel eines rechten Winkels beträgt \(\alpha = 90^\circ\):

Stumpfer Winkel

Der Öffnungswinkel eines stumpfen Winkels liegt zwischen \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)

Gestreckter Winkel

Der Öffnungswinkel eines gestreckten Winkels beträgt \(\alpha = 180^\circ\)

Überstumpfer / Erhabener Winkel

Der Öffnungswinkel eines erhabenen Winkels liegt zwischen \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\)

Voller Winkel

Der Öffnungswinkel eines vollen Winkels beträgt \(\alpha = 360^\circ\)

Schenkel eines Winkels

Drehsinn von Winkel

Winkel

Scheitel eines Winkels

Winkelweite

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Aufgaben

Winkelmaße

Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossenen Winkels, kann auf unterschiedliche Arten gemessen werden.

Gradmaß

Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile, den sogenannten Grad, unterteilt

\(\alpha\) … Winkel in Grad, als 360-ster Teil des Vollwinkels
1‘ … 1 Winkel-Minute als 60-stel Teil von 1 Grad
1‘‘ … 1 Winkel-Sekunde als 60-stel Teil von 1 Winkel-Minute

Bogenmaß

Im Bogenmaß wird dem Vollwinkel (360°) die Maßzahl 2π zugewiesen. Ein Radiant ist der \(\dfrac{1}{{2\pi }}\) -te Teil des Vollwinkels

1 Radiant ist jener Winkel, bei dem der Bogen des vom Winkel aufgespannten Kreissektors mit dem Radius vom Kreissektor ident ist. \(1rad = \dfrac{{180^\circ }}{\pi } \approx 57,2958^\circ \)
Unter dem Bogenmaß (ausgedrückt in Vielfachen oder Teilen von \(\pi\)) versteht man das Verhältnis von Bogenlänge b zum Radius r eines Kreissektors.
arc a ist eine dimensionslose Zahl des Winkels a, die das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angibt. Um die dimensionslose Zahl arc a von Grad unterscheiden zu können, schreibt man als Einheit „rad“ für Radiant dazu. Wählt man den Einheitskreis (r=1) so ist das Bogenmaß gleich der Länge des Kreisbogens

Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß

Merke: 2π im Bogenmaß entsprechen 360° im Gradmaß

\({\mathop{\rm arc}\nolimits} \alpha = \dfrac{{\alpha .\pi }}{{180^\circ }}\)

\(\dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ ;\,\,\,\,\,\pi \buildrel \wedge \over = 180^\circ ;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} \buildrel \wedge \over = 270^\circ ;\,\,\,\,\,2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ \)

Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß

Merke: 360° im Gradmaß entsprechen 2π im Bogenmaß

\(\alpha = \dfrac{{180^\circ \cdot arc\alpha }}{\pi }\)

\(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi ;\,\,\,\,\,270^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,360^\circ \buildrel \wedge \over = 2\pi \)

Umrechnung Gradmaß Bogenmaß

Umrechnung Bogenmaß Gradmaß

Radiant (Winkel)

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Ergänzungswinkel

Unter Ergänzungswinkel versteht man Winkel die sich zu einem rechten oder einen gestreckten Winkel ergänzen

Komplementärwinkel

Komplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 90° ergänzen.

\(\alpha + \beta = 90^\circ\)

Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Komplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \end{array}\)

Supplementärwinkel

Supplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 180° ergänzen.

\(\alpha + \beta = 180^\circ\)

Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Supplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \end{array}\)

Winkelpaare

Bei einander schneidenden Geraden unterscheidet man zwischen Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel liegen sich an zwei einander schneidenden Geraden gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)

Stufenwinkel

Stufenwinkel liegen sich an zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)

Wechselwinkel

Wechselwinkel setzen sich aus einem Scheitel- und einem Stufenwinkel zusammen und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)

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Symmetralen

Als Symmetralen bezeichnet man die Menge aller Punkte, die von zwei geometrischen Objekten gleich weit entfernt ist.

Streckensymmetrale

Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke

Vom Punkt P1 und P2 aus wird jeweils ein hinreichend großer Kreisbogen gezeichnet. Die beiden Kreisbögen schneiden einander in den Punkten S₁ und S₂
Die Streckensymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S₁ und S₂. An Ihrem Schnittpunkt mit der Geraden teilt die Strecke von P₁ nach P₂ in zwei gleiche lange Hälften.

Winkelsymmetrale

Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben

Vom Schenkel S des Winkels aus wird ein Kreisbogen gezeichnet, welcher die Schenkel in den Punkten S₁ und S₂ schneidet
Von jedem der beiden so konstruierten Punkte S₁ und S₂ aus wird erneut jeweils ein Kreisbogen gezeichnet. Diese beiden Kreisbögen schneiden einander im Punkt S₃
Die Winkelsymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S und S₃

Streckensymmetrale

Winkelsymmetrale

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Koordinatensysteme

Koordinatensysteme, auch Bezugssysteme genannt, dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben. Jeder Dimension entspricht eine Koordinatenachse. Rechnerisch einfach sind orthogonale Koordinatensysteme, bei denen die Koordinatenachsen im rechten Winkel zu einander stehen und sich im Ursprung des Koordinatensystems schneiden.

Koordinaten

Koordinaten sind Zahlenwerte in Bezug auf die Koordinatenachsen, die entweder einem Abstand vom Ursprung oder einem Winkel zwischen Richtungsvektor und einer Koordinatenachse entsprechen.

Transformation

Unter einer Transformation versteht man die Umrechnung von einem Bezugssystem in ein anderes Bezugssystem.

Beispiele aus der Physik: Galilei-Transformation, Lorenz-Transformation
Beispiele aus der Mathematik: Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten, z-Transformation der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zweidimensionale Koordinatensysteme

Zweidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren zwei Dimensionen, die durch 2 Abstände oder 1 Abstand und 1 Winkel quantifiziert werden

Kartesische Koordinaten: 2 Abstände
Polarkoordinaten: 1 Abstand + 1 Winkel

Dreidimensionale Koordinatensysteme

Dreidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren drei Dimensionen, die durch 3 Abstände oder 2 Abstände und 1 Winkel oder 1 Abstand und 2 Winkel quantifiziert werden

Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel

Mehrdimensionale Koordinatensysteme

In der Physik ist es zweckmäßig Hyperräume wie die Raum-Zeit (4 Dimensionen) einzuführen. In der allgemeinen Relativitätstheorie kommen auch 10-dimensionale Koordinatensysteme zum Einsatz und in der fraktalen Geometrie gibt es auch nicht-ganzzahlige Dimensionen.

Ganzzahlige Dimension

Der Begriff Dimension geht auf die euklidische Geometrie zurück und bedeutet soviel wie „Anzahl der Ausdehnungen“. Eine Dimension ist die Ausdehnung in eine eigene "Richtung / Qualität", die nicht bereits durch eine andere Dimension dargestellt werden kann. Regelmäßige Gebilde, mit „glatten“ Randlinien, wie Quadrate, Kreise, Quader oder Kugeln haben ganzzahlige Dimensionen.

D=0: Punkt
D=1: Länge, Begrenzungslinie einer Fläche
D=2: Flächeninhalt
D=3: Rauminhalt, Volumen
D=4: Hyperräume, etwa die Raum-Zeit
D=10: allgemeine Relativitätstheorie
D=4+6: Stringtheorie mit vierdimensionaler Raumzeit und 6 eng aufgerollten Extradimensionen

Nicht ganzzahlige Dimension

Da die euklidische Geometrie unregelmäßige Formen wie Küstenlinien nicht abbilden kann, begann Mandelbrot über den Begriff der Dimension nachzuforschen. Er führte neben den ganzzahligen Dimensionen auch gebrochenzahlige, sogenannte fraktale Dimensionen ein. Die Küste ist nämlich ein Mittelding zwischen Linie und Fläche und hat eine nicht ganzzahlige Dimension. Die fraktale Dimension D lässt sich in Abhängigkeit von der Teileanzahl a und einem Skalierungsfaktor s berechnen.

\(D = - \dfrac{{\ln \left( {a\left( s \right)} \right)}}{{\ln \left( s \right)}}\)

Die Länge der Küstenlinie einer Insel hängt von der Größe des Maßstabs der Karte ab: Obwohl die Fläche einer Insel endlich groß ist, nähert sich die Länge der Küstenlinie bei beliebiger Verkleinerung des Maßstabs der Karte dem Wert Unendlich. An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit gewährleistet.

Koordinatensysteme

Koordinaten

Transformation

Ganzzahlige Dimension

Nicht ganzzahlige Dimension

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Kartesische Koordinaten

In einem kartesischen Koordinatensystem stehen die drei Koordinatenachsen jeweils im rechten Winkel, also orthogonal, auf einander. Die Position eines Punktes P(x|y|z) wird mit Hilfe von je einer x, y und z Koordinate beschrieben.

P(x|y|z)

Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems

Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems nimmt jede Koordinatenachse den Wert Null an.

Quadranten im kartesischen Koordinatensystem

In der Ebene stehen die beiden x- und y-Koordinatenachsen orthogonal (in 90°) aufeinander, sie teilen die gaußsche Ebene in 4 Quadranten, die vom rechten oberen Quadranten „1“ ausgehend gegen den Uhrzeigersinn, von 1..4 gezählt werden. Den Schnittpunkt der beiden Achsen nennt man den Ursprung 0 (0|0). Auf jeder Koordinatenachse ist ein Einheitsvektor e_x, e_y definiert.

Illustration der 4 Quadranten eines zweidimensionalen Koordinatensystems

Achsen im kartesischen Koordinatensystem

Die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems stehen orthogonal auf einander und werden nach den drei Richtungen in denen sie den dreidimensionalen Raum aufspannen benannt.

Abszisse

Die Abszisse ist die horizontale x-Achse (Definitionsbereich).

Ordinate

Die Ordinate ist die vertikale y-Achse (Wertebereich).

Applikate

Im 3 dimensionalen Raum kommt noch die räumliche z-Achse (Applikate, Kote) dazu.

Rechte Hand Regel im kartesischen Koordinatensystem

Bei der rechten Hand Regel veranschaulichen 3 jeweils um 90° gespreizte Finger der rechten Hand die 3 Achsen eines kartesischen Koordinatensystems

Daumen = x;
Zeigefinger = y;
Mittelfinger = z

Kartesische Koordinaten

Ursprung vom Koordinatensystem

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Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ) in der Ebene mit Hilfe von zwei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung und dem Winkel φ.

P(r, \(\varphi\))

Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinaten

Bei der Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi

\(\begin{array}{l} x = r \cdot \cos \varphi \\ y = r \cdot \sin \varphi \end{array}\)

Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten

Bei der Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate

\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr} \)

Polarkoordinaten

Umrechnung Polarkoordinaten auf kartesische Koordinaten

Umrechnung kartesische Koordinaten auf Polarkoordinaten

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Zylinderkoordinaten

Die Zylinderkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ,h) im Raum mit Hilfe von drei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ und der Höhe h. Es handelt sich dabei um die Erweiterung der Polarkoordinaten um die dritte Dimension, also die Höhe.

dem Abstand r vom Koordinatenursprung
dem Winkel φ in der Basisebene und
der Höhe h des Punktes P über der Basisebene.

\(P\left( {r,\varphi ,h} \right)\)

Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinaten

Bei der Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen

\(\eqalign{ & x = r \cdot \cos \varphi \cr & y = r \cdot \sin \varphi \cr & z = h \cr}\)

Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten

Bei der Umrechnung von kartesischen auf Zylinderkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen

\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr & h = z \cr} \)

Zylinderkoordinaten

Umrechnung Zylinderkoordinaten auf kartesische Koordinaten

Umrechnung kartesische Koordinaten auf Zylinderkoordinaten

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Kugelkoordinaten

Die Position eines Punktes im 3 dimensionalen Raum wird durch 3 Werte, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ in der xy-Ebene und dem Winkel ϑ in der rz-Ebene dargestellt.

\(P\left( {r,\varphi ,\vartheta } \right)\)

Es gelten dabei folgende Konventionen:

r ist der Ortsvektor , also der Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P
\(\varphi\) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \varphi \le 360^\circ \buildrel \wedge \over = 2 \cdot \pi \)
\(\vartheta\) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \vartheta \le 180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi \)

Einordung der Bestimmungsgrößen in den drei gängigen dreidimensionalen Koordinatensystemen

Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel

Breitenkreise in Kugelkoordinaten

Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator, bei der Erde spricht man von nördlicher Breite oder südlicher Breite, es gibt 90+90=180 Breitenkreise. Dabei entsprechen 0° nördlicher und südlicher Breite dem Äquator. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r=konstant, ϑ=konstant,

Längenkreise in Kugelkoordinaten

Längenkreise, auch Meridiane genannt, verlaufen durch N und S-Pol, bei der Erde spricht man von westlicher Länge oder östlicher Länge, es gibt 90+90=180 Längenkreise. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r= konstant, φ = konstant,

Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten

Die Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten erfordert die Länge vom Ortsvektor und den Sinus bzw. Kosinus vom jeweiligen Winkel zwischen dem Ortsvektor und der x- bzw. z- Achse

\(\begin{array}{l} x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \\ y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \\ z = r \cdot \cos \vartheta \end{array}\)

Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten erfordert die x, y und z-Koordinaten vom Punkt und erfolgt unter Verwendung von ArkusKosinus bzw. ArkusTangens und dem Satz des Pythagoras

\(\begin{array}{l} r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y}}} \ge {\rm{0}}}\\ {2 \cdot \pi - \arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y} < 0}}} \end{array}} \right.\\ \vartheta = {\mathop{\rm arctan}\nolimits} \dfrac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} \end{array}\)

Kugelkoordinaten

Längenkreise in Kugelkoordinaten

Umrechnung kartesische Koordinaten auf Kugelkoordinaten

Umrechnung Kugelkoordinaten auf kartesische Koordinaten

Breitenkreise in Kugelkoordinaten

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Abbildungsgeometrie

In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen

Kongruenzabbildungen: Es bleiben Winkel und Strecken erhalten, die Figuren sind deckungsgleich
Ähnlichkeitsabbildungen: Es bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten, die Figuren sind nicht deckungsgleich

Kongruenzabbildungen

Bei Kongruenzabbildungen bleiben Winkel und Strecken erhalten
Sind nicht nur die Winkel (wie bei Ähnlichkeitsabbildungen), sondern auch die Seitenlängen gleich, so nennt man die Figuren kongruent, auch dann, wenn sie erst durch Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur in der Lage zueinander. Ihr Flächeninhalt ist gleich groß. Deckungsgleiche Figuren kann man durch spiegeln, verschieben und drehen so übereinander legen, dass die "obere" Figur die "untere" Figur vollständig abdeckt.

4 Kongruenzabbildungen
Die vier Kongruenzabbildungen sind Lageänderungen (Abbildungen ) einer Figur, sodass sich diese Figur nach der Kongruenzabbildung nicht in Form und Größe von der Figur vor der Kongruenzabbildung unterscheidet.
- Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt bzw. Zentralspiegelung: Spiegelung um einen Punkt
- Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden bzw. Achsenspiegelung bzw. Umklappung: Spiegelung um eine Gerade, welche die Spiegelungsachse darstellt
- Schiebung bzw. Translation: Verschiebung entlang paralleler gleich langer Schiebungsstrecken
- Drehung bzw. Rotation: Drehung um einen Drehpunkt und um einen Drehwinkel

Symmetrie

Eine symmetrische Figur kann durch eine Kongruenzabbildung in sich selbst abgebildet werden

Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie
- Kongruenz ist eine Beziehung zwischen zwei deckungsgleichen Figuren
- Symmetrie ist eine Eigenschaft von einer Figur

Ähnlichkeitsabbildungen

Bei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten.
Die Figuren haben zwar die gleichen Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen. D.h. die einander entsprechenden Winkel sind gleich groß, die einander entsprechenden Seiten (sind zwar nicht gleich lang, aber sie) haben dasselbe Längenverhältnis.

Affine Ähnlichkeitsabbildungen:
- Sie sind geradentreu, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet
- Sie sind parallelentreu, d.h. parallele Gerade werden auf parallele Gerade abgebildet
- Sie sind teilerverhältnistreu, d.h. teilt ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k, dann teilt sein Bildpunkt X‘ die Strecke A’B‘ ebenfalls im Verhältnis k
Affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind
- Scherung: Eine Seite der Figur samt den Punkten die auf dieser Seite liegen bleibt fix, alle anderen Punkte der Figur werden in Richtung dieser Seite verschoben, wobei aber die Fläche unverändert bleibt. So wird aus einem Rechteck ein Parallelogramm.
- Parallelstreckung:Alle Ecken einer Figur (und damit auch die Punkte ihrer Verbindungsgeraden) werden entlang von parallelen Geraden unterschiedlich weit verschoben

Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der die Streckung von einem Streckungszentrum ausgehend um einen Streckungsfaktor k erfolgt

jedem Punkt der Ausgangsfigur wird ein Bildpunkt der ähnlichen Figur zugeordnet
jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einem gemeinsamen Strahl, welcher vom Streckungszentrum ausgeht
die Seiten welche die Punkte verbinden und die Seiten welche die Bildpunkte verbinden, verlaufen parallel
alle Punkte einer ähnlichen Figur und alle zugehörigen Bildpunkte sind vom Streckungszentrum um das k-fache vom selben Streckungsfaktor entfernt

Das Streckungszentrum liegt in einem Eckpunkt der Figur

Das Streckungszentrum liegt außerhalb der Figur

Das Streckungszentrum liegt innerhalb der Figur

Abbildungsgeometrie

Kongruenzabbildungen

Ähnlichkeitsabbildungen

Spiegelung an einem Punkt

Spiegelung an einer Geraden

Schiebung

Drehung

Deckungsgleichheit

Deckungsgleiche Dreiecke

Unterschied Kongruenz und Symmetrie

Symmetrie

Ähnliche Dreiecke

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Aufgaben

Aufgabe 84

Beat the Clock

Lösungsweg

Erkläre an Hand zweier Beispiele aus der Physik, was einen Vektor ausmacht.

Betrag eines Vektors

Orientierung eines Vektors

Richtung eines Vektors

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Aufgabe 93

Beat the Clock

Lösungsweg

Ermittle den Einheitsvektor zu

\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right);\)

Einheitsvektor

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Aufgabe 85

Beat the Clock

Lösungsweg

Stelle die beiden gegebenen Vektoren als Pfeile von einem gemeinsamen Ausgangspunkt dar. Berechne und konstruiere dann den gefragten Vektor.

\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right);\)

Gesucht: \(\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \)

Addition zweier Vektoren

Summenvektor

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Aufgabe 86

Beat the Clock

Lösungsweg

Stelle die beiden gegebenen Vektoren als Pfeile von einem gemeinsamen Ausgangspunkt dar. Berechne und konstruiere dann den gefragten Vektor.

\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4 \end{array}} \right);\)

Gesucht: \(\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b \)

Subtraktion zweier Vektoren

Differenzvektor

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Aufgabe 87

Beat the Clock

Lösungsweg

Stelle die beiden gegebenen Vektoren als Pfeile von einem gemeinsamen Ausgangspunkt dar. Berechne und konstruiere dann den gefragten Vektor.

\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4 \end{array}} \right);\)

Gesucht: \(\overrightarrow c = \overrightarrow b - \overrightarrow a \)

Subtraktion zweier Vektoren

Differenzvektor

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Damensache.at - 1. Einschub

Damensache.at - 3. Einschub

Damensache.at - 4. Einschub

Damensache.at - 5. Einschub

Damensache.at - 6. Einschub

Aufgabe 88

Beat the Clock

Lösungsweg

Auf einer Seekarte wird der Kurs eines Bootes eingezeichnet. Das Boot startet beim Startpunkt S(2/0) und kommt nach 12 Minuten Fahrt beim Zielpunkt Z(2/36) an. Das Boot hat sich mit konstanter Geschwindigkeit und auf geradlinigem Kurs von S nach Z bewegt.

An welchem Punkt P befindet sich das Boot nach 3 Minuten Fahrt?

Subtraktion zweier Vektoren

Differenzvektor

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Aufgabe 89

Beat the Clock

Lösungsweg

Addiere die beiden Vektoren

\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ 2 \cr 1 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 1 \cr 3 \cr } } \right); \cr & \overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr}\)

Addition zweier Vektoren

Summenvektor

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Aufgabe 90

Beat the Clock

Lösungsweg

Subtrahiere die beiden Vektoren

Subtraktion zweier Vektoren

Differenzvektor

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Aufgabe 91

Beat the Clock

Lösungsweg

Multipliziere den Vektor \(\overrightarrow a\)mit der reellen Zahl \(\lambda\) und berechne den Vektor \(\overrightarrow c\).

\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ 1 \cr 3 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\lambda = - 3; \cr & \overrightarrow c = \lambda .\overrightarrow a ; \cr}\)

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

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Damensache.at - 1. Einschub

Damensache.at - 3. Einschub

Damensache.at - 4. Einschub

Damensache.at - 5. Einschub

Damensache.at - 6. Einschub

Aufgabe 92

Beat the Clock

Lösungsweg

Addiere die beiden Vektoren

\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ 2 \cr 1 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 1 \cr 3 \cr } } \right); \cr & \overrightarrow c = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ; \cr}\)

Addition zweier Vektoren

Summenvektor

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

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Aufgabe 94

Beat the Clock

Lösungsweg

Ermittle die Normalprojektion \(\overrightarrow {{b_a}}\)von \(\overrightarrow b\) auf \(\overrightarrow a\)

\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 5 \cr {10} \cr } } \right);\)

Vektorprojektionsformel

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

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Aufgabe 95

Beat the Clock

Lösungsweg

Ermittle den orthogonalen Vektor zu

\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right);\)

1. Teilaufgabe: Verwende die Links-Kipp-Regel
2. Teilaufgabe: Verwende die Rechts-Kipp-Regel.

Orthogonalitätskriterium

Links Kipp Regel

Rechts Kipp Regel

Rechter Winkel zwischen 2 Vektoren

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