Abbildungsgeometrie
In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen
Kongruenzabbildungen : Es bleiben Winkel und Strecken erhalten, die Figuren sind deckungsgleich
Ähnlichkeitsabbildungen : Es bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten, die Figuren sind nicht deckungsgleich
Kongruenzabbildungen
Bei Kongruenzabbildungen bleiben Winkel und Strecken erhalten
Sind nicht nur die Winkel (wie bei Ähnlichkeitsabbildungen), sondern auch die Seitenlängen gleich, so nennt man die Figuren kongruent, auch dann, wenn sie erst durch Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur in der Lage zueinander. Ihr Flächeninhalt ist gleich groß. Deckungsgleiche Figuren kann man durch spiegeln, verschieben und drehen so übereinander legen, dass die "obere" Figur die "untere" Figur vollständig abdeckt.
Dreieck d1
Dreieck d1: Polygon E, F, G
Dreieck d2
Dreieck d2: Polygon H, J, I
Strecke g
Strecke g: Strecke E, F
Strecke e
Strecke e: Strecke F, G
Strecke f
Strecke f: Strecke G, E
Strecke i
Strecke i: Strecke H, J
Strecke h
Strecke h: Strecke J, I
Strecke j
Strecke j: Strecke I, H
4 Kongruenzabbildungen
Die vier Kongruenzabbildungen sind Lageänderungen (Abbildungen ) einer Figur, sodass sich diese Figur nach der Kongruenzabbildung nicht in Form und Größe von der Figur vor der Kongruenzabbildung unterscheidet.
Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt bzw. Zentralspiegelung: Spiegelung um einen Punkt
Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden bzw. Achsenspiegelung bzw. Umklappung: Spiegelung um eine Gerade, welche die Spiegelungsachse darstellt
Schiebung bzw. Translation: Verschiebung entlang paralleler gleich langer Schiebungsstrecken
Drehung bzw. Rotation: Drehung um einen Drehpunkt und um einen Drehwinkel
Dreieck d1
Dreieck d1: Polygon F, G, E
Dreieck d1'
Dreieck d1': Polygon F', G', E'
Dreieck d1'_1
Dreieck d1'_1: Polygon F'_1, G'_1, E'_1
Dreieck d2
Dreieck d2: Polygon I, K, N
Dreieck d1_2
Dreieck d1_2: Polygon F_2, G_2, E_2
Dreieck d1'_2
Dreieck d1'_2: Polygon F'_2, G'_2, E'_2
Strecke e
Strecke e: Strecke F, G
Strecke f
Strecke f: Strecke G, E
Strecke g
Strecke g: Strecke E, F
Strecke e'
Strecke e': Strecke F', G'
Strecke f'
Strecke f': Strecke G', E'
Strecke g'
Strecke g': Strecke E', F'
Strecke e'_1
Strecke e'_1: Strecke F'_1, G'_1
Strecke f'_1
Strecke f'_1: Strecke G'_1, E'_1
Strecke g'_1
Strecke g'_1: Strecke E'_1, F'_1
Strecke n
Strecke n: Strecke I, K
Strecke i
Strecke i: Strecke K, N
Strecke k
Strecke k: Strecke N, I
Strecke e_2
Strecke e_2: Strecke F_2, G_2
Strecke f_2
Strecke f_2: Strecke G_2, E_2
Strecke g_2
Strecke g_2: Strecke E_2, F_2
Strecke h
Strecke h: Strecke M, J
Strecke e'_2
Strecke e'_2: Strecke F'_2, G'_2
Strecke f'_2
Strecke f'_2: Strecke G'_2, E'_2
Strecke g'_2
Strecke g'_2: Strecke E'_2, F'_2
Vektor u
Vektor u: Vektor(F, F')
Vektor u
Vektor u: Vektor(F, F')
Vektor v
Vektor v: Vektor(E, E')
Vektor v
Vektor v: Vektor(E, E')
Vektor w
Vektor w: Vektor(G, G')
Vektor w
Vektor w: Vektor(G, G')
Vektor c
Vektor c: Vektor(F, F'_1)
Vektor c
Vektor c: Vektor(F, F'_1)
Vektor d
Vektor d: Vektor(G, G'_1)
Vektor d
Vektor d: Vektor(G, G'_1)
Vektor j
Vektor j: Vektor(F'_1, I)
Vektor j
Vektor j: Vektor(F'_1, I)
Vektor l
Vektor l: Vektor(G'_1, D)
Vektor l
Vektor l: Vektor(G'_1, D)
Vektor m
Vektor m: Vektor(P, Q)
Vektor m
Vektor m: Vektor(P, Q)
Vektor p
Vektor p: Vektor(R, S)
Vektor p
Vektor p: Vektor(R, S)
Vektor q
Vektor q: Vektor(N, T)
Vektor q
Vektor q: Vektor(N, T)
Vektor a
Vektor a: Vektor(N, U)
Vektor a
Vektor a: Vektor(N, U)
Vektor b
Vektor b: Vektor(V, W)
Vektor b
Vektor b: Vektor(V, W)
Vektor r
Vektor r: Vektor(Z, A_1)
Vektor r
Vektor r: Vektor(Z, A_1)
Punkt N
Punkt N: E'_1 gedreht um Winkel 70°
Punkt N
Punkt N: E'_1 gedreht um Winkel 70°
Punkt O
Punkt O: Punkt auf w
Punkt O
Punkt O: Punkt auf w
Achsensymmetrie
Text1 = “Achsensymmetrie”
Punktsymmetrie
Text2 = “Punktsymmetrie”
Drehsymmetrie
Text3 = “Drehsymmetrie”
Verschiebung
Text4 = “Verschiebung”
Symmetrie
Eine symmetrische Figur kann durch eine Kongruenzabbildung in sich selbst abgebildet werden
Fünfeck Vieleck1
Fünfeck Vieleck1: Polygon E, F, G, H, I
Fünfeck Vieleck1'
Fünfeck Vieleck1': Polygon E', F', G', H', I'
Gerade j
Gerade j: Linie I, H
Strecke e
Strecke e: Strecke E, F
Strecke f
Strecke f: Strecke F, G
Strecke g
Strecke g: Strecke G, H
Strecke h
Strecke h: Strecke H, I
Strecke i
Strecke i: Strecke I, E
Strecke e'
Strecke e': Strecke E', F'
Strecke f'
Strecke f': Strecke F', G'
Strecke g'
Strecke g': Strecke G', H'
Strecke h'
Strecke h': Strecke H', I'
Strecke i'
Strecke i': Strecke I', E'
Symmetrieachse
Text1 = “Symmetrieachse”
Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie
Kongruenz ist eine Beziehung zwischen zwei deckungsgleichen Figuren
Symmetrie ist eine Eigenschaft von einer Figur
Ähnlichkeitsabbildungen
Bei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten.
Die Figuren haben zwar die gleichen Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen. D.h. die einander entsprechenden Winkel sind gleich groß, die einander entsprechenden Seiten (sind zwar nicht gleich lang, aber sie) haben dasselbe Längenverhältnis.
Affine Ähnlichkeitsabbildungen:
Sie sind geradentreu , d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet
Sie sind parallelentreu , d.h. parallele Gerade werden auf parallele Gerade abgebildet
Sie sind teilerverhältnistreu , d.h. teilt ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k, dann teilt sein Bildpunkt X‘ die Strecke A’B‘ ebenfalls im Verhältnis k
Affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind
Scherung : Eine Seite der Figur samt den Punkten die auf dieser Seite liegen bleibt fix, alle anderen Punkte der Figur werden in Richtung dieser Seite verschoben, wobei aber die Fläche unverändert bleibt. So wird aus einem Rechteck ein Parallelogramm.
Parallelstreckung :Alle Ecken einer Figur (und damit auch die Punkte ihrer Verbindungsgeraden) werden entlang von parallelen Geraden unterschiedlich weit verschoben
Ähnliche Dreiecke
Ähnliche Dreiecke haben zwar gleiche Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen, die jedoch den selben Streckungsfaktor aufweisen
\(\eqalign{ & \dfrac{{{A_{ABC}}}}{{{A_{A'B'C}}}} = {k^2}; \cr & \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = k; \cr}\)
Den Proportionalitätsfaktor k nennt man den Streckungsfaktor.
Ist k>1 spricht man von einer Streckung
ist k=1 so sind die Dreiecke kongruent
Ist k<1 so spricht man von einer Stauchung
Zentrische Streckung
Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der die Streckung von einem Streckungszentrum ausgehend um einen Streckungsfaktor k erfolgt
jedem Punkt der Ausgangsfigur wird ein Bildpunkt der ähnlichen Figur zugeordnet
jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einem gemeinsamen Strahl, welcher vom Streckungszentrum ausgeht
die Seiten welche die Punkte verbinden und die Seiten welche die Bildpunkte verbinden, verlaufen parallel
alle Punkte einer ähnlichen Figur und alle zugehörigen Bildpunkte sind vom Streckungszentrum um das k-fache vom selben Streckungsfaktor entfernt
Das Streckungszentrum liegt in einem Eckpunkt der Figur
Dreieck d1
Dreieck d1: Polygon F, G, H
Dreieck d2
Dreieck d2: Polygon F, I, J
Strecke f
Strecke f: Strecke A, B
Strecke g
Strecke g: Strecke B, C
Strecke h
Strecke h: Strecke A, C
Strecke i
Strecke i: Strecke E, D
Strecke h_1
Strecke h_1: Strecke F, G
Strecke f_1
Strecke f_1: Strecke G, H
Strecke g_1
Strecke g_1: Strecke H, F
Strecke j
Strecke j: Strecke F, I
Strecke f_2
Strecke f_2: Strecke I, J
Strecke i_1
Strecke i_1: Strecke J, F
Strahl k
Strahl k: Strahl durch K, L
Strahl l
Strahl l: Strahl durch K, M
Punkt K
Punkt K: Schnittpunkt von f, h
Punkt K
Punkt K: Schnittpunkt von f, h
Punkt L
Punkt L: Schnittpunkt von g, h
Punkt L
Punkt L: Schnittpunkt von g, h
Punkt M
Punkt M: Schnittpunkt von f, g
Punkt M
Punkt M: Schnittpunkt von f, g
B=B'
Text1 = “B=B'”
C
Text2 = “C”
A
Text3 = “A”
A'
Text4 = “A'”
C'
Text5 = “C'”
c
Text6 = “c”
c'
Text7 = “c'”
a
Text8 = “a”
a'
Text9 = “a'”
b
Text10 = “b”
b'
Text11 = “b'”
Das Streckungszentrum liegt außerhalb der Figur
Dreieck d1
Dreieck d1: Polygon F, H, I
Dreieck d2
Dreieck d2: Polygon G, J, K
Strahl f
Strahl f: Strahl durch E, G
Strahl g
Strahl g: Strahl durch E, H
Strahl h
Strahl h: Strahl durch E, I
Strecke i
Strecke i: Strecke F, H
Strecke f_1
Strecke f_1: Strecke H, I
Strecke h_1
Strecke h_1: Strecke I, F
Strecke k
Strecke k: Strecke G, J
Strecke g_1
Strecke g_1: Strecke J, K
Strecke j
Strecke j: Strecke K, G
A
Text1 = “A”
B
Text2 = “B”
C
Text3 = “C”
A'
Text4 = “A'”
B'
Text5 = “B'”
C'
Text6 = “C'”
Das Streckungszentrum liegt innerhalb der Figur
Viereck v1
Viereck v1: Polygon E, F, G, H
Viereck v2
Viereck v2: Polygon J, K, L, M
Strahl f
Strahl f: Strahl durch I, E
Strahl g
Strahl g: Strahl durch I, F
Strahl h
Strahl h: Strahl durch I, G
Strahl i
Strahl i: Strahl durch I, H
Strecke e
Strecke e: Strecke E, F
Strecke f_1
Strecke f_1: Strecke F, G
Strecke g_1
Strecke g_1: Strecke G, H
Strecke h_1
Strecke h_1: Strecke H, E
Strecke j
Strecke j: Strecke J, K
Strecke k
Strecke k: Strecke K, L
Strecke l
Strecke l: Strecke L, M
Strecke m
Strecke m: Strecke M, J
Punkt N
Punkt N: Schnittpunkt von f, g
Punkt N
Punkt N: Schnittpunkt von f, g
A
Text1 = “A”
B
Text2 = “B”
C
Text3 = “C”
D
Text4 = “D”
A'
Text5 = “A'”
B'
Text6 = “B'”
C'
Text7 = “C'”
D'
Text8 = “D'”