Aufgabe 4500

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Attersee - Aufgabe B_524

Teil a

Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Attersees kann modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Illustration Attersee - BHS Matura B_524

 

\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t - \dfrac{{2 \cdot \pi }}{3}} \right) + c{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 360\)

t Zeit in Tagen
f(t) Temperatur zur Zeit t in °C
a,b,c Parameter

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter b.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den zutreffenden Zahlenwert aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

  • Größe 1: Amplitude von f
  • Größe 2: linearer Mittelwert (Integralmittelwert) von f im Intervall [30; 210]

 

  • Zahlenwert 1: 10
  • Zahlenwert 2: 12
  • Zahlenwert 3: 13
  • Zahlenwert 4: 23

Zur Zeit t = 120 betrug die tatsächlich gemessene Temperatur 12 °C.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie den Betrag des absoluten Fehlers an, der entsteht, wenn man statt der tatsächlich gemessenen Temperatur den Funktionswert an der Stelle t = 120 verwendet.

[0 / 1 P.]

Zur Überprüfung der Qualität der Modellfunktion f werden 1 000 Messwerte yider Temperatur zu verschiedenen Zeiten tierhoben. Für jeden dieser Messpunkte (ti| yi) wird die Differenz des Messwerts yizum Funktionswert f(ti) ermittelt. Diese Differenzen werden jeweils quadriert und danach aufsummiert. Die so erhaltene Summe wird mit s bezeichnet.

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung von s.

\(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {???} \)

[0 / 1 P.]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse. Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall [0;2π]. Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.

Wir entnehmen der Abbildung:
\(\dfrac{T}{2} = 210 - 30 = 180 \to T = 360\)

Für b gilt:
\(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)

Somit: 
\(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{{360}} = \dfrac{\pi }{{180}}\)

2. Teilaufgabe:

Die Amplitude entspricht der maximalen Auslenkung nach oben und nach unten von der periodischen Funktion

  • Der Abstand zwischen Tiefpunkt und Hochpunkt beträgt: 23-3=20. Die Hälfte davon, also 10 entspricht der Amplitude → Größe 1 … Zahlenwert 1
  • Der lineare Mittelwert liegt in der Mitte zwischen Tiefpunkt (3) und Hochpunkt (23), also bei 13 → Größe 2 … Zahlenwert 3

3. Teilaufgabe:

\(\eqalign{ & f(t = 120) = 13 \cr & \left| {f\left( {120} \right) - 12} \right| = 13 - 12 = 1 \cr} \)

→ Der Betrag des absoluten Fehlers beträgt 1 °C.

4. Teilaufgabe:
Wir setzen den Text gemäß der Angabe Schritt-für-Schritt in einen Term um:

  • 1 000 Messwerte yi der Temperatur zu verschiedenen Zeiten ti erhoben:
    \(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {} \)
  • Für jeden dieser Messpunkte (ti | yi ) wird die Differenz des Messwerts yi zum Funktionswert f(ti ) ermittelt:
    \(\left( {{y_i} - f\left( {{t_i}} \right)} \right)\)
  • Diese Differenzen werden jeweils quadriert:
    \({\left( {{y_i} - f\left( {{t_i}} \right)} \right)^2}\)
  • und danach aufsummiert:
    \(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {{{\left( {{y_i} - f\left( {{t_i}} \right)} \right)}^2}} \)

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe

\(b = \dfrac{\pi }{{180}}\)

2. Teilaufgabe

  • Größe 1 … Zahlenwert 1
  • Größe 2 … Zahlenwert 3

3. Teilaufgabe
Der Betrag des absoluten Fehlers beträgt 1 °C.

4. Teilaufgabe
\(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {{{\left( {{y_i} - f\left( {{t_i}} \right)} \right)}^2}} \)

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Parameters b.

2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zuordnen.

3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Wertes.

4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Formel.