Aufgabe 1478
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Nachweis eines lokalen Minimums
Gegeben ist eine Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = {x^3} - 3 \cdot x + 2\). Die erste Ableitung p′ mit \(p'\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} - 3\) hat an der Stelle x=1 den Wert null.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie rechnerisch, dass p an dieser Stelle ein lokales Minimum (d. h. ihr Graph dort einen Tiefpunkt) hat!
Lösungsweg
Gemäß den Zusammenhängen zwischen höheren Ableitungen hat f(x0) einen Tiefpunkt / ein lokales Minimum an der Stelle x0, wenn folgende beiden Voraussetzungen erfüllt sind: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\)
Zeige dass p(x) an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt hat.
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = {x^3} - 3 \cdot x + 2 \cr & p'\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} - 3 \cr & p''\left( x \right) = 6x \cr}\)
Wir prüfen durch Einsetzen von x0=1ob die beiden Voraussetzungen erfüllt sind:
\(\eqalign{ & p'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 3 = 0 \cr & p''\left( 1 \right) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \cr} \)
Beide Voraussetzngen sind erfüllt, sodass an der Stelle x=1 ein lokales Minimum vorliegt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
An der Stelle x=1 liegt ein lokales Minimum vor.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis. Andere korrekte rechnerische Nachweise sind ebenfalls als richtig zu werten.