Sekante

Gleichung des Kreises

Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.

\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt

Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.

Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)

Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt

Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben

Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)

Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)

Lagebeziehung Punkt und Kreis

Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis  liegen

Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
 

Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
 

Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Kreis

​Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.

• Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S₁, S₂ schneidet.
• Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
• Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.

Berührbedingung Gerade an Kreis

Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spezialfall: M = Ursprung:

\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spaltform der Tangentengleichung des Kreises

Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)

Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)

Kreis und Gerade

Liegen ein Kreis und eine Gerade in einer Ebene, so gibt es, abhängig von der Lage der Geraden zum Kreis, unterschiedliche Bezeichnungen für die Gerade. Konkret unterscheidet man Sehne, Sekante, Tangente und Passante.

Kreissehne

Eine Sehne verbindet zwei beliebige Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Sie ist somit der im Kreisinneren liegende Teil einer Sekante. Die längste Sehne muss durch den Kreismittelpunkt laufen und entspricht somit dem Kreisdurchmesser.

\(\eqalign{ & g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\} \cr & S = \overline {{P_1}{P_2}} \cr & \left| {{S_{\max }}} \right| = \left| {\overline {{P_1}M{P_2}} } \right| = d \cr} \)

Sekante

Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.

\(g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\}\)

Tangente

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in 1 Punkt berührt.

\(g \cap k = \left\{ {{P_1}} \right\}\)

Passante

Eine Passante ist eine Gerade, die einen Kreis weder schneidet noch berührt.

\(g \cap k = \left\{ {} \right\}\)