Gleichung des Kreises
Formel
Gleichung des Kreises
Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.
\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.
Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)
Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt
Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben
Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)
Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Lagebeziehung Punkt und Kreis
Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegen
Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Kreis
Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.
- Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S1, S2 schneidet.
- Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
- Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.
| \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\) | Mittelpunkt des Kreises |
| \(T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right)\) | Berührpunkt der Tangente |
| t | Tangente im Berührpunkt |
Berührbedingung Gerade an Kreis
Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spezialfall: M = Ursprung:
\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spaltform der Tangentengleichung des Kreises
Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)
Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
Aktuelle Lerneinheit
| Gleichung des Kreises | Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben. |
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| Gleichung der Kugel | Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben. |
| Gleichung der Ellipse | Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
| Ebenengleichungen und ihre Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt |
| Geradengleichungen und deren Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie Form der Geraden |
| Gleichung der Parabel | Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Brennpunkt und von einer gegebenen Leitgerade den gleichen Abstand haben. |
| Gleichung der Hyperbel | Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
| Lagebeziehung zweier Ebenen | Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden |
| Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene | Eine Gerade kann eine Ebene entweder schneiden, parallel zur Ebene liegen oder in der Ebene liegen |
| Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene | Entweder liegt der Punktauf in oder außerhalb einer Ebene |
| Lagebeziehung zweier Geraden | Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, komplanar oder windschief zu einander sein |
| Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade | Entweder liegt der Punkt auf oder außerhalb einer Geraden. |
| Lagebeziehung zweier Punkte | Zwei Punkte im Raum können durch einen Vektor verbunden werden. Anschließend kann der Betrag bzw. die Länge des Vektors errechnet werden, und man erhält damit den Abstand der beiden Punkte |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 201
Differentialrechnung bei impliziter Darstellung
Gegeben sei die Funktion: \({x^2} + {y^2} = 4;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung für implizite Darstellung.
Aufgabe 6034
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gf der Funktion f
\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)
Bild
Gegeben ist weiter die Gerade g mit der Gleichung \(y = - \dfrac{1}{2}x + 7,5\)
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie die Gerade g in die Abbildung ein.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punkts \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\) von Gf , in dem die Tangente an Gf parallel zur Geraden g ist.
(Teilergebnis: xT=6 )
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie den Abstand d des Punkts T von der Geraden g.
Betrachtet wird zusätzlich die Differenzfunktion
\(u:x \mapsto g\left( x \right) - f\left( x \right){\text{ mit }}{D_u} = {D_f}\)
4. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie, dass u an der Stelle xT ein Minimum u(xT) besitzt.
5. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Minimum u(xT) der Differenzfunktion u größer ist als der Abstand des Punkts T von der Geraden g.
6. Teilaufgabe d.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeichnen Sie dazu auch geeignete Strecken in oben stehende Abbildung ein.
Aufgabe 265
Zwei Parabeln sollen von einem Kreis berührt werden, von dem nur der Radius bekannt ist
Gegeben sind
Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\left( {a\left| b \right.} \right)\) und Radius r=4. Der Kreis soll die beiden nachfolgenden Parabeln berühren.
Eine Parabel f, nach oben offen: \(f\left( x \right) = {x^2}\)
Eine Parabel g, nach unten offen: \(g\left( x \right) = - 2 \cdot {x^2}\)
Gesucht:
Die Berührpunkte
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^2} \to {P_f}\left( {x = {x_1}} \right) \to {P_f}\left( {{x_1}\left| {{x_1}^2} \right.} \right)\,\,\,\,\\ g\left( x \right) = - 2 \cdot {x^2} \to {P_g}\left( {x = {x_2}} \right) \to {P_g}\left( {{x_2}\left| { - 2{x_2}^2} \right.} \right) \end{array}\)
und der Mittelpunkt des Kreises \(M\left( {a\left| b \right.} \right)\)