Ähnliche Dreiecke

Abbildungsgeometrie

In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen

• Kongruenzabbildungen: Es bleiben Winkel und Strecken erhalten, die Figuren sind deckungsgleich
• Ähnlichkeitsabbildungen: Es bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten, die Figuren sind nicht deckungsgleich

Kongruenzabbildungen

Bei Kongruenzabbildungen bleiben Winkel und Strecken erhalten
Sind nicht nur die Winkel (wie bei Ähnlichkeitsabbildungen), sondern auch die Seitenlängen gleich, so nennt man die Figuren kongruent, auch dann, wenn sie erst durch Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur in der Lage zueinander. Ihr Flächeninhalt ist gleich groß. Deckungsgleiche Figuren kann man durch spiegeln, verschieben und drehen so übereinander legen, dass die "obere" Figur die "untere" Figur vollständig abdeckt.

Bild

• 4 Kongruenzabbildungen
  Die vier Kongruenzabbildungen sind Lageänderungen (Abbildungen ) einer Figur, sodass sich diese Figur nach der Kongruenzabbildung nicht in Form und Größe von der Figur vor der Kongruenzabbildung unterscheidet.
  • Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt bzw. Zentralspiegelung: Spiegelung um einen Punkt
  • Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden bzw. Achsenspiegelung bzw. Umklappung: Spiegelung um eine Gerade, welche die Spiegelungsachse darstellt
  • Schiebung bzw. Translation: Verschiebung entlang paralleler gleich langer Schiebungsstrecken
  • Drehung bzw. Rotation: Drehung um einen Drehpunkt und um einen Drehwinkel

Symmetrie

Eine symmetrische Figur kann durch eine Kongruenzabbildung in sich selbst abgebildet werden

• Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie
  • Kongruenz ist eine Beziehung zwischen zwei deckungsgleichen Figuren
  • Symmetrie ist eine Eigenschaft von einer Figur

Ähnlichkeitsabbildungen

Bei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten.
Die Figuren haben zwar die gleichen Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen. D.h. die einander entsprechenden Winkel sind gleich groß, die einander entsprechenden Seiten (sind zwar nicht gleich lang, aber sie) haben dasselbe Längenverhältnis.

• Affine Ähnlichkeitsabbildungen:
  • Sie sind geradentreu, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet
  • Sie sind parallelentreu, d.h. parallele Gerade werden auf parallele Gerade abgebildet
  • Sie sind teilerverhältnistreu, d.h. teilt ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k, dann teilt sein Bildpunkt X‘ die Strecke A’B‘ ebenfalls im Verhältnis k
• Affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind
  • Scherung: Eine Seite der Figur samt den Punkten die auf dieser Seite liegen bleibt fix, alle anderen Punkte der Figur werden in Richtung dieser Seite verschoben, wobei aber die Fläche unverändert bleibt. So wird aus einem Rechteck ein Parallelogramm.
  • Parallelstreckung:Alle Ecken einer Figur (und damit auch die Punkte ihrer Verbindungsgeraden) werden entlang von parallelen Geraden unterschiedlich weit verschoben

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke haben zwar gleiche Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen, die jedoch den selben Streckungsfaktor aufweisen

\(\eqalign{ & \dfrac{{{A_{ABC}}}}{{{A_{A'B'C}}}} = {k^2}; \cr & \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = k; \cr}\)

Den Proportionalitätsfaktor k nennt man den Streckungsfaktor.

• Ist k>1 spricht man von einer Streckung
• ist k=1 so sind die Dreiecke kongruent
• Ist k<1 so spricht man von einer Stauchung

Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der die Streckung von einem Streckungszentrum ausgehend um einen Streckungsfaktor k erfolgt

• jedem Punkt der Ausgangsfigur wird ein Bildpunkt der ähnlichen Figur zugeordnet
• jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einem gemeinsamen Strahl, welcher vom Streckungszentrum ausgeht
• die Seiten welche die Punkte verbinden und die Seiten welche die Bildpunkte verbinden, verlaufen parallel
• alle Punkte einer ähnlichen Figur und alle zugehörigen Bildpunkte sind vom Streckungszentrum um das k-fache vom selben Streckungsfaktor entfernt

Das Streckungszentrum liegt in einem Eckpunkt der Figur

Das Streckungszentrum liegt außerhalb der Figur

Das Streckungszentrum liegt innerhalb der Figur