Euklidische und nichteuklidische Geometrie
Formel
Euklidische und nichteuklidische Geometrie
Ein Ziel der Geometrie ist die Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade
Euklidische ebene Geometrie
Die euklidische ebene Geometrie dient der der Abbildung vom uns wohlvertrauten dreidimensionalen Raum
- Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g durch diese Punkte. Diese Gerade g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten
- Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es genau eine Gerade h parallel zu g durch P („Parallelenaxiom“)
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad
Nichteuklidische Geometrie
Die nichteuklidische Geometrie basiert auf der Negation vom Parallelenaxiom: Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden. In der nichteuklidischen Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie krümmen Schwerefelder den Raum. Ungeklärt ist ob das Universum hyperbolisch oder elliptisch gekrümmt ist.
Nichteuklidische hyperbolische Geometrie
Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie kommt ohne dem Parallelenaxiom aus
- Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g, welche beide Punkte enthält.
- Zu jeder Gerade g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es unendlich viele Parallelen zu Geraden g durch P
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer kleiner als 180 Grad
Nichteuklidische sphärische Geometrie der Kugel
In der nichteuklidischen sphärischen Geometrie der Kugel gilt
- Zu je zwei Punkten gibt es einen Großkreis, welcher beide Punkte enthält und der kürzeste Abstand auf der Oberfläche zwischen den beiden Punkten ist. Ein Großkreis entsteht durch den Schnitt einer Ebene welche die beiden Punkte und den Kugelmittelpunkt enthält mit der Kugeloberfläche
- Es gibt keine parallelen Geraden
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer größer 180 Grad
Nichteuklidische elliptische Geometrie
Die nichteuklidische elliptische Geometrie ist eine Verallgemeinerung der sphärischen Geometrie für Räume mit konstanter positiver Krümmung.
Absolute Geometrie
Die absolute Geometrie umfasst Sätze über den n-dimensionalen Raum, die sowohl in der euklidischen wie auch in der nichteuklidischen Geometrie gelten.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern | Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstig in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente |
Aktuelle Lerneinheit
Euklidische und nichteuklidische Geometrie | Ziel ist eine Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Zylinderstumpf | Ein Zylinderstumpf entsteht, wenn man einen Drehzylinder mit einer Ebene schneidet |
Symmetralen | Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke. Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben.
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Allgemeines Viereck | Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Ecken, vier Seiten und zwei Diagonalen |
Besondere Punkte im Dreieck | Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt bilden die vier besonderen Punkte im Dreieck. |
Ergänzungswinkel und Winkelpaare | Unter Ergänzungswinkel versteht man Komplementär- und Supplementärwinkel |
Arten von Winkel | Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. |
Kugel | Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entsteht |
Pyramide | Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks |
Kreis und Gerade | Eine Sehne ist jener Teil einer Geraden (also eine Strecke), die einen Kreis in 2 Punkten schneidet, wobei der eine Schnittpunkt der Anfang und der andere Schnittpunkt das Ende der Strecke ist |
Kugelkalotte | Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht. Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke. Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde. Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. |
Kegelstumpf | Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat |
Drehkegel | Ein Drehkegel ist ein Körper dessen Grundfläche ein Kreis ist. Der Mittelpunkt des Kreises, ist zugleich der Fußpunkt der Kegelhöhe
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Zylinder | Ein Zylinder ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie auf die Grund- und Deckfläche normal steht. |
Pyramidenstumpf | Schneidet man eine Pyramide unterhalb der Spitez ab, so bleibt ein Pyramidenstumpf zurück |
Prisma | Ein gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. |
Quader | Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei gegenüberliegende Rechtecke gleich groß sind |
Würfel | Ein Würfel ist ein Körper der von 6 Quadraten begrenzt wird. |
Kreis | Jene Linie die einen Kreis bildet, setzt sich aus der Menge all jener Punkte der Ebene zusammen, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand hat |
Polygon | Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug und gleich vielen Ecken gebildet wird |
Trapez | Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind |
Parallelogramm bzw. Rhomboid | Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind |
Rechteck | Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind |
Deltoid (Drachenviereck) | Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt. |
Raute bzw. Rhombus | Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
Quadrat | Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
Rechtwinkeliges Dreieck | Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel |
Gleichseitiges Dreieck | Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten |
Gleichschenkeliges Dreieck | Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis |
Allgemeines Dreieck | Verbindet man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken, so erhält man ein allgemeines Dreieck |
Winkelmaße | Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossene Winkels, kann man u.a. mit dem Grad- und dem Bogenmaß messen |