Allgemeines Dreieck

Allgemeines Dreieck

Ein allgemeines Dreieck erhält man, indem man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken verbindet.

\(\begin{array}{l} a \ne b \ne c\\ \gamma \ne 90^\circ \end{array}\)

• Mit drei Bestimmungsstücken (Seitenlänge, Innenwinkel), von denen mindestens eines eine Seitenlänge sein muss, ist ein Dreieck eindeutig definiert
• Rechtwinkelige Dreiecke sind in der technischen Praxis der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Dreiecke. Nur für diesen Spezialfall gilt der Satz des Pythagoras. Mit Hilfe der Höhen kann man allgemeine Dreiecke in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen.
• Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber
• Mindestens zwei der drei Innenwinkel sind spitze Winkel

Beschriftung im allgemeinen Dreieck

Im allgemeinen Dreieck ist es üblich, die Dreieckseiten mit a, b und c zu beschriftet. Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse – mit „c“ zu bezeichnen. Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung, d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben sind:

• Der Seite „a“ gegenüber liegt der Winkel „\(\alpha\)“
• Der Seite „b“ gegenüber liegt der Winkel „\(\beta\)“
• Der Seite „c“ gegenüber liegt der Winkel „\(\gamma\)“
• Die Winkel und die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet

Illustration zur Beschriftung im allgemeinen Dreieck

Dreiecksungleichungen

Die Dreiecksungleichungen besagen, dass die Summe zweier Seitenlängen immer größer ist, als die dritte Seite

\(a + b > c;\,\,\,\,\,a + c > b;\,\,\,\,\,b + c > a\)

Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

• Innenwinkel: Die Summe aller 3 Innenwinkel beträgt 180°
  \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
• Außenwinkel: Die Summe aller 3 Außenwinkel beträgt 360°
• Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel (er ergänzt den Innenwinkel auf 180°) ist immer gleich groß, wie die Summe der zwei nicht anliegenden Innenwinkel

Illustration zur Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

Sinussatz

Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.

Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.

\(\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }}\)

Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.

Kosinussatz

Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Wichtig: Der Kosinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz für Dreiecke MIT rechtem Winkel. Man sieht das auch sofort, da der Subtrahend im Kosinussatz zu null wird, weil der Kosinus von 90° null ist. Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

\(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \left( {\angle ac} \right)\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos \left( {\angle ab} \right) \end{array}\)

Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.

Umfang eines allgemeinen Dreiecks

Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)

Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)

Trigonometrische Flächenformel

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus dem halben Produkt zweier Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels:

\(A = \dfrac{{b \cdot c}}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{{a \cdot c}}{2} \cdot \sin \beta = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \gamma\)

Heron'sche Flächenformel

Die Heron'sche Flächenformel dient zur Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks, wenn alle 3 Seitenlängen a, b und c gegeben sind. Man erspart es sich dabei den Zwischenschritt, eine der Dreieckshöhen auszurechnen.

\(\begin{array}{l} s = \dfrac{{a + b + c}}{2}\\ A = \sqrt {s \cdot \left( {s - a} \right) \cdot \left( {s - b} \right) \cdot \left( {s - c} \right)} \end{array}\)

Aufteilung eines allgemeinen Dreiecks in zwei rechtwinkelige Dreiecke

Mit Hilfe der Höhen ist es möglich aus einem allgemeinen Dreieck zwei rechtwinkelige Dreiecke zu machen, für die dann wieder der Satz vom Pythagoras gilt.

\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \gamma = c \cdot \sin \beta \cr & {h_b} = c \cdot \sin \alpha = a \cdot \sin \gamma \cr & {h_c} = a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha \cr} \)

Für die Gültigkeit obiger Formeln muss die Seite c nicht die Hypotenuse sein, der Seite a muss aber der Winkel \(\alpha \) gegenüber liegen, usw.

Illustration eines allgemeinen Dreiecks, welches entlang der Höhe h_b in zwei rechtwinkelige Dreiecke aufgeteilt wird

Umkreisradius vom allgemeinen Dreieck

Jedes allgemeine Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt auf der Streckensymmetrale liegt. Bei spitzwinkeligen Dreiecken liegt er im Dreiecksinneren, bei rechtwinkeligen Dreiecken liegt er am Mittelkreis der Hypotenuse und bei einem Dreieck bei dem ein Winkel größer als 90° ist, liegt er außerhalb vom Dreieck.

\({r_U} = \dfrac{a}{{2 \cdot \sin \alpha }} = \dfrac{b}{{2 \cdot \sin \beta }} = \dfrac{c}{{2 \cdot \sin \gamma }} = \dfrac{{a \cdot b \cdot c}}{{4 \cdot A}}\)

Illustration vom Umkreis eines allgemeinen Dreiecks