Nichteuklidische Geometrie
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Formeln
Euklidische und nichteuklidische Geometrie
Ein Ziel der Geometrie ist die Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade
Euklidische ebene Geometrie
Die euklidische ebene Geometrie dient der der Abbildung vom uns wohlvertrauten dreidimensionalen Raum
- Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g durch diese Punkte. Diese Gerade g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten
- Zu jeder Geraden g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es genau eine Gerade h parallel zu g durch P („Parallelenaxiom“)
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180 Grad
Nichteuklidische Geometrie
Die nichteuklidische Geometrie basiert auf der Negation vom Parallelenaxiom: Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden. In der nichteuklidischen Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie krümmen Schwerefelder den Raum. Ungeklärt ist ob das Universum hyperbolisch oder elliptisch gekrümmt ist.
Nichteuklidische hyperbolische Geometrie
Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie kommt ohne dem Parallelenaxiom aus
- Zu je zwei Punkten A, B gibt es genau eine Gerade g, welche beide Punkte enthält.
- Zu jeder Gerade g und jedem nicht auf g liegendem Punkt P gibt es unendlich viele Parallelen zu Geraden g durch P
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer kleiner als 180 Grad
Nichteuklidische sphärische Geometrie der Kugel
In der nichteuklidischen sphärischen Geometrie der Kugel gilt
- Zu je zwei Punkten gibt es einen Großkreis, welcher beide Punkte enthält und der kürzeste Abstand auf der Oberfläche zwischen den beiden Punkten ist. Ein Großkreis entsteht durch den Schnitt einer Ebene welche die beiden Punkte und den Kugelmittelpunkt enthält mit der Kugeloberfläche
- Es gibt keine parallelen Geraden
- Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer größer 180 Grad
Nichteuklidische elliptische Geometrie
Die nichteuklidische elliptische Geometrie ist eine Verallgemeinerung der sphärischen Geometrie für Räume mit konstanter positiver Krümmung.
Absolute Geometrie
Die absolute Geometrie umfasst Sätze über den n-dimensionalen Raum, die sowohl in der euklidischen wie auch in der nichteuklidischen Geometrie gelten.
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