Kugel
Formel
Kugel
Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung eines Kreises um einen Kreisdurchmesser entsteht. Die Kugeloberfläche ist eine Fläche die einer Koordinatengleichung zweiter Ordnung genügt und kann daher nicht in der Ebene verzerrungsfrei ausgebreitet werden. Der Ausdruck "Kugel" wird sowohl für die Kugeloberfläche als auch für den Kugelkörper verwendet. Die Kugel hat keine Ecken und keine Kanten und nur eine Fläche.
Großkreis
Ein Großkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene schneidet, die durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Der Durchmesser vom Großkreis entspricht dabei dem Durchmesser der Kugel. Entlang eines Großkreises verläuft die kürzeste Verbindung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche.
Kleinkreis
Ein Kleinkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebenen schneidet, die nicht durch den Kugelmittelpunkt verläuft.
Illustration von Groß- und Kleinkreis
Orthodrome bzw. Luftlinie
Eine Orthodrome ist ein Teilstück eines Großkreises. So versuchen Flugzeuge, die zwei weit entfernte Städte verbinden, möglichst entlang eines Großkreises zu fliegen, die sogenannte Luftlinie, weil so die geringste Flugstrecke zurückgelegt werden muss. Während des Fluges, außer der Flug geht exakt in N-S-Richtung, muss dabei der Kurswinkel, das ist der Winkel zwischen Flugrichtung und Norden ständig angepasst werden.Alle Längenkreise (Meridiane) sind Orthodrome, während der Äquator als einziger Breitengrad eine Orthodrome ist. Alle anderen Breitenkreise sind Kleinkreise.
Loxodrome bzw. Kompasskurs
Eine Loxodrome ist eine Kurve auf der Kugeloberfläche, die zwei Punkte so verbindet, dass der Winkel zu den Meridianen (verlaufen in N-S Richtung) unveränderlich, der Kurswinkel also konstant, ist. Dabei nimmt man aber einen Umweg im Vergleich zur Luftlinie in kauf.
Oberfläche der Kugel
Die Oberfläche einer Kugel beträgt das vierfache der Fläche eines Großkreises. Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, den gleichen Abstand r haben.
\(\eqalign{ & d = 2 \cdot r \cr & U = 2 \cdot r \cdot \pi \cr & O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& d = 2 \cdot r = 2 \cdot 5cm = 10cm \cr
& U = 2 \cdot r \cdot \pi = = 2 \cdot 5cm \cdot \pi = 31,416cm \cr
& O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi = 4 \cdot {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \pi = 314,159c{m^2} \cr} \)
Volumen der Kugel
Das Kugelvolumen ist jener Rauminhalt, welcher durch die Kugeloberfläche eingeschlossen wird. Der Kugelkörper setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, einen Abstand kleiner gleich r haben.
\(V = \dfrac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi \)
Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& V = \frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot {\left( {5cm} \right)^3} \cdot \pi = 523,599c{m^3} \cr} \)
Illustration einer Kugel
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Wissenspfad
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Allgemeines Viereck | Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Ecken, vier Seiten und zwei Diagonalen |
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Arten von Winkel | Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. |
Pyramide | Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks |
Kreis und Gerade | Eine Sehne ist jener Teil einer Geraden (also eine Strecke), die einen Kreis in 2 Punkten schneidet, wobei der eine Schnittpunkt der Anfang und der andere Schnittpunkt das Ende der Strecke ist |
Kugelkalotte | Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht. Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke. Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde. Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. |
Kegelstumpf | Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat |
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|
Zylinder | Ein Zylinder ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie auf die Grund- und Deckfläche normal steht. |
Pyramidenstumpf | Schneidet man eine Pyramide unterhalb der Spitez ab, so bleibt ein Pyramidenstumpf zurück |
Prisma | Ein gerades Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. |
Quader | Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei gegenüberliegende Rechtecke gleich groß sind |
Würfel | Ein Würfel ist ein Körper der von 6 Quadraten begrenzt wird. |
Kreis | Jene Linie die einen Kreis bildet, setzt sich aus der Menge all jener Punkte der Ebene zusammen, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand hat |
Polygon | Ein Polygon ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug und gleich vielen Ecken gebildet wird |
Trapez | Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind |
Parallelogramm bzw. Rhomboid | Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind |
Rechteck | Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind |
Deltoid (Drachenviereck) | Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt. |
Raute bzw. Rhombus | Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
Quadrat | Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
Rechtwinkeliges Dreieck | Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel |
Gleichseitiges Dreieck | Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten |
Gleichschenkeliges Dreieck | Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis |
Allgemeines Dreieck | Verbindet man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken, so erhält man ein allgemeines Dreieck |
Winkelmaße | Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossene Winkels, kann man u.a. mit dem Grad- und dem Bogenmaß messen |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4176
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Pauliberg - Aufgabe A_067
Der Pauliberg ist Österreichs jüngster erloschener Vulkan und ein beliebtes Ausflugsziel im Burgenland.
Teil a
Beim Pauliberg befindet sich eine Fundstätte von großen Brocken aus vulkanischem Gestein. Für die nachfolgenden Aufgaben wird vereinfacht von kugelförmigen Brocken ausgegangen. Ein bestimmter Brocken hat eine Masse von 4,5 t. Die Dichte des Gesteins beträgt 3 000 kg/m3. Die Masse m ist das Produkt aus Volumen V und Dichte \(\rho\) also: \(m = V \cdot \rho \)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Durchmesser dieses Brockens.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Von zwei solchen Brocken mit gleicher Dichte und verschiedener Masse kennt man jeweils den Durchmesser:
Brocken 1 | Brocken 2 | |
Masse in kg | m1 | m2 |
Durchmesser | 1 m | 1 dm |
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
- Aussage 1: m1 ist das Zehnfache von m2.
- Aussage 2: m1 und m2 stehen im Verhältnis 10 000 : 1.
- Aussage 3: \({m_2} = 1000 \cdot \pi \cdot {m_1}\)
- Aussage 4: m1 und m2 stehen im Verhältnis 100 : 1.
- Aussage 5: \({m_1} = 1000 \cdot {m_2}\)
[1 aus 5] [1 Punkt]
Aufgabe 4093
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Abrissbirnen - Aufgabe B_012
Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.
Teil a
Eine Abrissbirne hat die Form einer Kugel mit dem Durchmesser d. Die Masse m und die Dichte ϱ der Kugel sind bekannt. Die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d aus m und ϱ .
d= ……
[1 Punkt]
Eine einfache Regel besagt: „Um die Masse einer Kugel zu verdoppeln, ist ihr Durchmesser um rund ein Viertel zu vergrößern.“
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie allgemein, dass diese Regel richtig ist.
[1 Punkt]