Allgemeine Form der Geradengleichung

Geradengleichungen und deren vier Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie oder Hauptform der Geraden.

Bezeichnungen

Parameterform der Geradengleichung

Bei der Parameterform der Geraden benötigt man einen beliebigen Punkt, den "Aufpunkt" A bzw. P auf der Geraden und einen Vektor \(\overrightarrow r \) oder einen zweiten Punkt B. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann eine Gerade in der Ebene und im Raum eindeutig festgelegt werden. Der Name "Parameterform" leitet sich davon ab, dass man alle Punkte der Geraden dadurch erhält, indem man für den Parameter \(\lambda\) unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt, wobei: \(\lambda \in {\Bbb R}\).

Punkt-Richtungsform der Geradengleichung

Bei der Punkt-Richtungsform der Geraden setzt am Aufpunkt A der Richtungsvektor r auf, der in die Richtung der Geraden zeigt. Die Gerade wird also durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert

\(\begin{array}{l} g:X = A + \lambda \cdot \overrightarrow r \\ g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Zwei-Punktform der Geradengleichung

Bei der Zwei-Punktform der Geraden setzt an den Aufpunkt A ein Vektor an, der vom Aufpunkt zu einem beliebigen zweiten Punkt B auf der Geraden weist. Die Gerade wird also durch zwei Punkte definiert
\(g:X = A + \lambda \overrightarrow { \cdot AB} \)

Normalform der Geradengleichung (nur in R² )

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor \(\overrightarrow n \) benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf die Gerade g steht. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann zwar eine Gerade in der Ebene nicht aber im Raum eindeutig festgelegt werden.

Vektorschreibweise der Normalform der Geradengleichung

Sind von einer Geraden g ein Punkt P und ihr Normalvektor \( \overrightarrow n\) gegeben, so gilt für alle Punkte X der Geraden, dass der bekannte Normalvektor \( \overrightarrow n\) und alle Vektoren \(\overrightarrow {PX} \) normal auf einander stehen, womit ihr Skalarprodukt Null ist. Die Gerade ist also duch einen Punkt und eine Normale auf die eigentliche Gerade definiert.
\(\begin{array}{l} g:\overrightarrow n \cdot X - \overrightarrow n \cdot P = 0\\ g : \overrightarrow n \cdot \left( {X - P} \right) = 0 \end{array}\)

Hesse'sche Normalform der Geradengleichung

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor n benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf der Geraden g steht. Ersetzt man den Normalvektor \( \overrightarrow n\) durch dessen Einheitsvektor \(\overrightarrow {{n_0}}\), so erhält man die Hesse'sche Normalform. Die Gerade ist also durch einen Punkt und einen Vektor der Länge 1 in Richtung der Normalen auf die eigentliche Gerade definiert.

\(\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {X - P} \right) = 0\)

Allgemeine Form der Geradengleichung

Bei der allgmeinen bzw. impliziten Form einer Geraden sind die Koeffizienten a und b zugleich die Koordinaten des Normalvektors \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right)\) und die Variablen x und y sind die Koordinaten aller jener Punkte \(X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\), die auf der Geraden liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a und b jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.

\(\begin{array}{l} g:a \cdot x + b \cdot y + c = 0\\ g(x) = - \dfrac{a}{b} \cdot x - \dfrac{c}{b}\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) \end{array}\)

Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten vom Normalvektor.

Hauptform der Geradengleichung

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Hauptform einer Geraden,
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & y = k\left( {x - {A_x}} \right) + {A_y} \cr}\)

Umrechnung Parameterform in die parameterfreie Hauptform der Geraden

Um die Geradengleichung von der Parameterform \(X = P +\lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) +\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) in die parameterfreie (Haupt)Form \(y = kx + d\) zu bringen, spaltet man sie in eine Gleichung für die x-Koordinate und in eine Gleichung für die y-Koordinate auf und eliminiert den Parameter t

\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{P_x}}& + &{\lambda \cdot {r_x}}\\ y& = &{{P_y}}& + &{\lambda \cdot {r_y}} \end{array}\)

Umrechnung parameterfrei Hauptform in die Parameterform der Geraden

Um die Geradengleichung von der parameterfreien (Haupt)Form \(y = kx + d\) in die Parameterform \(X = P + \lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) zu bringen,

• ermittelt man einen bel. Punkt auf der Geraden, z. B.: in dem man y=0 setzt
• ermittelt man den Normalvektor \(\overrightarrow n\), dessen Koordinaten die Koeffizienten der Hauptform \(y - kx = d\) sind, und wendet anschließend die Links-Kipp-Regel an: \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_y}}\\ {{n_x}} \end{array}} \right)\)

Umrechnung von der Parameterform auf die allgemeine Form der Geraden

Gegeben ist die Parameterform in Koordinatenschreibweise
\(g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\)

1. Schritt: Zeilenweises Anschreiben der Parameterform:
\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{A_x}}& + &{t \cdot {a_x}}\\ y& = &{{A_y}}& + &{t \cdot {a_y}} \end{array}\)

2. Schritt: t eliminieren vom Parameter t:
\(\begin{array}{l} y - {A_y} = t \cdot {a_y} \to t = \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}}\\ x = {A_x} + \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}} \cdot {a_x}\,\,\,\,\,\left| {:{a_x}} \right.\\ \dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} + \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}} \end{array}\)

3. Schritt: Anschreiben in der allgemeinen Form:
\(\dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x - \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}}\)

Umrechnung von der Normalform bzw. der Parameterform in die Hauptform der Geraden

\(\begin{array}{l} k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \dfrac{{{n_x}}}{{{n_y}}} = \dfrac{{{B_y} - {A_y}}}{{{B_x} - {A_x}}} = tan\left( \alpha \right) = - \dfrac{a}{b}\\ d = \dfrac{c}{{{n_y}}} = - \dfrac{c}{b} \end{array}\)