Grad einer Funktion
Formel
Grad einer Funktion
Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:
- Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
- Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
- Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
- Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
- Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.
Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:
- Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
- Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
- Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.
-
Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.
Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades
Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:
Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion
Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab
Funktion vom 2. Grad: Parabel
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben
Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten
Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Darstellung von Funktionen | Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. |
Aktuelle Lerneinheit
Grad einer Funktion | Der Grad einer Funktion ist gleich groß der Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommenden Exponenten von x. |
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Wichtige Funktionswerte | Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. |
Polynomfunktionen n-ten Grades | Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. |
Logarithmusfunktionen | Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion |
Wurzelfunktionen | Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x |
Potenzfunktionen | Potenzfunktionen sind Funktionen bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt. |
Natürliche Exponentialfunktion | Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis |
Exponentialfunktion | Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. |
Gebrochenrationale Funktionen | Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) sind zu den Potenzen der Argumenten x indirekt proportional. |
Quadratische Funktion | Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. |
Intervallweise lineare Funktion | Bei intervallweisen linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definieren Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. |
Lineare Funktion | Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, wobei k der Anstieg bzw. die Steigung und d der Achsenabschnitt auf der y-Achse ist. |
Nullstelle einer Funktion | Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). |
Periodische Funktion | Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird
|
Gerade und ungerade Funktionen | Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x. |
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen | Umkehrbar eindeutig ist eine Funktion dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge eindeutig ein Element y der Wertemenge zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge genau ein Element x der Definitionsmenge gehört. |
Taylorpolynom | Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x0 durch eine Polynomfunktion zu approximieren |
Parameter von Funktionen | Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1388
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 11. Aufgabe
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Symmetrische Polynomfunktion
Der Graph einer zur senkrechten Achse symmetrischen Polynomfunktion f besitzt den lokalen Tiefpunkt T = (3|–2).
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum die Polynomfunktion f mindestens 4. Grades sein muss!
Aufgabe 1012
AHS - 1_012 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynom 4. Grades
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f, die vom Grad 4 ist.
- Aussage 1: Die Funktion besitzt drei Wendepunkte.
- Aussage 2: Die Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.
- Aussage 3: Die Funktion ist streng monoton steigend für x ∈ [0; 4].
- Aussage 4: Die Funktion besitzt einen Wendepunkt, der gleichzeitig auch Tiefpunkt ist.
- Aussage 5: Die Funktion hat drei Nullstellen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1623
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
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Polynomfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum es sich bei der dargestellten Funktion nicht um eine Polynomfunktion dritten Grades handeln kann!
Aufgabe 1271
AHS - 1_271 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Polynomfunktion mit Terrassenpunkt
Ein Terrassen- bzw. Sattelpunkt an einer Stelle x0 liegt dann vor, wenn \(f'\left( {{x_0}} \right) = f''\left( {{x_0}} \right)\) gilt. Eine Polynomfunktion f vierten Grades besitzt den Sattelpunkt S = (0|0). Die nachstehenden fünf Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen, wobei alle Extrem- und Wendepunkte in den Darstellungen enthalten sind.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die den Graphen der Funktion f darstellen können!
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Aufgabe 1168
AHS - 1_168 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Kennzeichnung von x-Werten
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion p vierten Grades.
Aufgabenstellung:
Kennzeichnen Sie alle Stellen auf der x-Achse, für die p″(x) = 0 gilt!
Aufgabe 1040
AHS - 1_040 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grad einer Polynomfunktion
Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von fünf Polynomfunktionen f1 bis f5. Die Ausschnitte enthalten alle Extrem- und Wendepunkte der Graphen.
Zum weiterlesen bitte Aufklappen:
- Aussage 1: Die Polynomfunktion f1 hat den Grad 2.
- Aussage 2: Die Polynomfunktion f2 hat den Grad 2.
- Aussage 3: Die Polynomfunktion f3 hat den Grad 4.
- Aussage 4: Die Polynomfunktion f4 hat den Grad 3.
- Aussage 5: Die Polynomfunktion f5 hat den Grad 3.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) zum Grad an!
Aufgabe 1695
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
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Verlauf einer Polynomfunktion vierten Grades
Es gibt Polynomfunktionen vierten Grades, die genau drei Nullstellen x1, x2 und x3 mit \({x_1},{x_2},{x_3} \in {\Bbb R}{\text{ und }}{x_1} < {x_2} < {x_3}\) haben.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie im nachstehenden Koordinatensystem im Intervall [–4; 4] den Verlauf des Graphen einer solchen Funktion f mit allen drei Nullstellen im Intervall [–3; 3]!
Aufgabe 1083
AHS - 1_083 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Polynomfunktion 3. Grades
Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ mit a}}{\text{,}}\,\,{\text{b}}{\text{,}}\,\,{\text{c}}{\text{,}}\,\,{\text{d}} \in \mathbb{R}{\text{ und }}a \ne 0\)
Wie viele reelle Nullstellen kann diese Funktion besitzen?
- Aussage 1: keine
- Aussage 2: mindestens eine
- Aussage 3: höchstens drei
- Aussage 4: genau vier
- Aussage 5: unendlich viele
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 1039
AHS - 1_039 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
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Nullstellen einer Polynomfunktion
Wie viele verschiedene reelle Nullstellen kann eine Polynomfunktion 3. Grades haben?
Aufgabenstellung
Veranschaulichen Sie Ihre Lösungsfälle durch jeweils einen möglichen Graphen!