Aufgabe 1388
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Symmetrische Polynomfunktion
Der Graph einer zur senkrechten Achse symmetrischen Polynomfunktion f besitzt den lokalen Tiefpunkt T = (3|–2).
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum die Polynomfunktion f mindestens 4. Grades sein muss!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Merkregel für den Grad einer Funktion
- Grad einer Funktion = Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Der Grad entspricht dem höchsten vorkommendem Exponenten von x.
- Grad einer Funktion minus 1 = maximale Anzahl der Extremstellen
- Grad einer Funktion minus 2 = maximale Anzahl der Wendestellen
Wir argumentieren wie folgt:
- Wenn die Funktion einen 1. Tiefpunkt bei T=(3|–2) besitzt und laut Angabe symmetrisch zur senkrechten Achse, also der y-Achse, ist, dann muss die Funktion auch einen zu T=(3|–2) symmetrischen 2. Tiefpunkt bei T=(-3|–2) besitzen.
- Zwischen 2 Tiefpunkten muss aber auch ein Hochpunkt liegen.
- Somit hat die Funktion mindestens 3 Extremstellen und da der Grad der Funktion um 1 höher ist, als die Anzahl der Extremstellen, haben wir begründet dass die Polynomfunktion mindestens vom 4. Grad sein muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wegen der Symmetrie muss ein 2. lokaler Tiefpunkt vorliegen und dazwischen auch ein lokaler Hochpunkt. Beim Vorliegen von mindestens drei Extrempunkten muss die Polynomfunktion mindestens 4. Grades sein.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Argumentation.