Analytische Geometrie

Gleichung des Kreises

Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.

\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt

Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.

Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)

Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt

Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben

Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)

Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)

Lagebeziehung Punkt und Kreis

Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis  liegen

Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
 

Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
 

Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Kreis

​Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.

• Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S₁, S₂ schneidet.
• Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
• Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.

Berührbedingung Gerade an Kreis

Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spezialfall: M = Ursprung:

\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spaltform der Tangentengleichung des Kreises

Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)

Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)

Geradengleichungen und deren vier Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie oder Hauptform der Geraden.

Bezeichnungen

Parameterform der Geradengleichung

Bei der Parameterform der Geraden benötigt man einen beliebigen Punkt, den "Aufpunkt" A bzw. P auf der Geraden und einen Vektor \(\overrightarrow r \) oder einen zweiten Punkt B. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann eine Gerade in der Ebene und im Raum eindeutig festgelegt werden. Der Name "Parameterform" leitet sich davon ab, dass man alle Punkte der Geraden dadurch erhält, indem man für den Parameter \(\lambda\) unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt, wobei: \(\lambda \in {\Bbb R}\).

Punkt-Richtungsform der Geradengleichung

Bei der Punkt-Richtungsform der Geraden setzt am Aufpunkt A der Richtungsvektor r auf, der in die Richtung der Geraden zeigt. Die Gerade wird also durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert

\(\begin{array}{l} g:X = A + \lambda \cdot \overrightarrow r \\ g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Zwei-Punktform der Geradengleichung

Bei der Zwei-Punktform der Geraden setzt an den Aufpunkt A ein Vektor an, der vom Aufpunkt zu einem beliebigen zweiten Punkt B auf der Geraden weist. Die Gerade wird also durch zwei Punkte definiert
\(g:X = A + \lambda \overrightarrow { \cdot AB} \)

Normalform der Geradengleichung (nur in R² )

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor \(\overrightarrow n \) benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf die Gerade g steht. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann zwar eine Gerade in der Ebene nicht aber im Raum eindeutig festgelegt werden.

Vektorschreibweise der Normalform der Geradengleichung

Sind von einer Geraden g ein Punkt P und ihr Normalvektor \( \overrightarrow n\) gegeben, so gilt für alle Punkte X der Geraden, dass der bekannte Normalvektor \( \overrightarrow n\) und alle Vektoren \(\overrightarrow {PX} \) normal auf einander stehen, womit ihr Skalarprodukt Null ist. Die Gerade ist also duch einen Punkt und eine Normale auf die eigentliche Gerade definiert.
\(\begin{array}{l} g:\overrightarrow n \cdot X - \overrightarrow n \cdot P = 0\\ g : \overrightarrow n \cdot \left( {X - P} \right) = 0 \end{array}\)

Hesse'sche Normalform der Geradengleichung

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor n benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf der Geraden g steht. Ersetzt man den Normalvektor \( \overrightarrow n\) durch dessen Einheitsvektor \(\overrightarrow {{n_0}}\), so erhält man die Hesse'sche Normalform. Die Gerade ist also durch einen Punkt und einen Vektor der Länge 1 in Richtung der Normalen auf die eigentliche Gerade definiert.

\(\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {X - P} \right) = 0\)

Allgemeine Form der Geradengleichung

Bei der allgmeinen bzw. impliziten Form einer Geraden sind die Koeffizienten a und b zugleich die Koordinaten des Normalvektors \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right)\) und die Variablen x und y sind die Koordinaten aller jener Punkte \(X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\), die auf der Geraden liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a und b jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.

\(\begin{array}{l} g:a \cdot x + b \cdot y + c = 0\\ g(x) = - \dfrac{a}{b} \cdot x - \dfrac{c}{b}\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) \end{array}\)

Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten vom Normalvektor.

Hauptform der Geradengleichung

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Hauptform einer Geraden,
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & y = k\left( {x - {A_x}} \right) + {A_y} \cr}\)

Umrechnung Parameterform in die parameterfreie Hauptform der Geraden

Um die Geradengleichung von der Parameterform \(X = P +\lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) +\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) in die parameterfreie (Haupt)Form \(y = kx + d\) zu bringen, spaltet man sie in eine Gleichung für die x-Koordinate und in eine Gleichung für die y-Koordinate auf und eliminiert den Parameter t

\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{P_x}}& + &{\lambda \cdot {r_x}}\\ y& = &{{P_y}}& + &{\lambda \cdot {r_y}} \end{array}\)

Umrechnung parameterfrei Hauptform in die Parameterform der Geraden

Um die Geradengleichung von der parameterfreien (Haupt)Form \(y = kx + d\) in die Parameterform \(X = P + \lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) zu bringen,

• ermittelt man einen bel. Punkt auf der Geraden, z. B.: in dem man y=0 setzt
• ermittelt man den Normalvektor \(\overrightarrow n\), dessen Koordinaten die Koeffizienten der Hauptform \(y - kx = d\) sind, und wendet anschließend die Links-Kipp-Regel an: \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_y}}\\ {{n_x}} \end{array}} \right)\)

Umrechnung von der Parameterform auf die allgemeine Form der Geraden

Gegeben ist die Parameterform in Koordinatenschreibweise
\(g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\)

1. Schritt: Zeilenweises Anschreiben der Parameterform:
\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{A_x}}& + &{t \cdot {a_x}}\\ y& = &{{A_y}}& + &{t \cdot {a_y}} \end{array}\)

2. Schritt: t eliminieren vom Parameter t:
\(\begin{array}{l} y - {A_y} = t \cdot {a_y} \to t = \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}}\\ x = {A_x} + \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}} \cdot {a_x}\,\,\,\,\,\left| {:{a_x}} \right.\\ \dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} + \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}} \end{array}\)

3. Schritt: Anschreiben in der allgemeinen Form:
\(\dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x - \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}}\)

Umrechnung von der Normalform bzw. der Parameterform in die Hauptform der Geraden

\(\begin{array}{l} k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \dfrac{{{n_x}}}{{{n_y}}} = \dfrac{{{B_y} - {A_y}}}{{{B_x} - {A_x}}} = tan\left( \alpha \right) = - \dfrac{a}{b}\\ d = \dfrac{c}{{{n_y}}} = - \dfrac{c}{b} \end{array}\)

Gleichung der Ellipse

Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F₁ und F₂ (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecken F₁P bzw. F₂P nennt man Brennstrecke. Schneidet man einen geraden Zylinder mit einer Ebene, dann ist die Schnittlinie eine Ellipse. 

\([ell = \left\{ {P \in ell:\overline {{F_1}P} + \left| {P{F_2}} \right| = 2a > \overline {{F_1}{F_2}} } \right\}\)

Die Brennstrecken sind die beiden Abstände eines Punkts auf der Ellipse von den beiden Brennpunkten der Ellipse. Die Summe der beiden Brennstrecken ist immer gleich lang wie die doppelte Hauptachse.

mit:

\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)

Im Spezialfall a=b wird aus der Ellipse ein Kreis.

Ellipse in 1. Hauptlage

Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse \({F_{1,2}}\left( { \pm e\left| 0 \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:

Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage

\({b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Flächeninhalt Ellipse

\(A = a \cdot b \cdot \pi \)

Illustration einer Ellipse in 1. Hauptlage

Ellipse in 2. Hauptlage

Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse \({F_{1,2}}\left( {0\left| { \pm e} \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:

Normalform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage

\({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)

Illustration einer Ellipse in 2. Hauptlage

Lagebeziehung Punkt und Ellipse 

Ein Punkt kann bezüglich einer Ellipse innerhalb, außerhalb oder auf der Ellipse liegen

• P liegt innerhalb der Ellipse:
  \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 < {a^2}{b^2}\)
• P liegt auf der Ellipse:
  \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 = {a^2}{b^2}\)
• P liegt außerhalb der Ellipse: \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 > {a^2}{b^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Ellipse​

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ellipse interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente

Berührbedingung Gerade an Ellipse

Die Berührbedingung der Ellipse ergibt sich aus der großen und der kleinen Halbachse der Ellipse sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)

\({a^2}{k^2} + {b^2} = {d^2}\)

Spaltform der Tangentengleichung der Ellipse

Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Ellipsengleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Ellipse aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)

\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x + {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)

Ebenengleichungen und ihre drei Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt, nachfolgend die Parameterform, die Normalvektorform und die allgemeine Form der Ebenengleichung

Parameterform der Ebenengleichung

Es handelt sich bei beiden nachfolgend angeführten Schreibweisen um "Parameterformen" der Ebene, da man alle Punkte der Ebene dadurch erhält, indem man für die Parameter u und v unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt.

​Ebene in Koordinatenschreibweise

Jeder Punkt X der Ebene \(\varepsilon\)  kann ausgehend von einem Startpunkt \({\rm{P}} \in \varepsilon\) entlang zweier Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\)erreicht werden.
\(\varepsilon :X = P + u.\overrightarrow a + v.\overrightarrow b \)

\(\varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = P + u \cdot \overrightarrow a + v \cdot \overrightarrow b \)

\(\varepsilon :\left\{ \matrix{ x = {p_x} + u \cdot {a_x} + v \cdot {b_x} \cr y = {p_y} + u \cdot {a_y} + v \cdot {b_y} \cr z = {p_y} + u \cdot {a_z} + v \cdot {b_z} \cr} \right.\)

Ortsvektor zu jedem Punkt X in der Ebene

Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem Punkt X

\(\overrightarrow x = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u \cdot \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + v \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)

Ebene durch 3 Punkte

Die 3 Punkte dürfen nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

\(P\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right);\,\,\,Q\left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right);\,\,\,R\left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)

2 Richtungsvektoren spannen die Ebene auf:

\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right);\,\,\,\overrightarrow {PR} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)

Somit lautet die Ebenengleichung durch den Aufpunkt P und aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren:

\(\varepsilon :X = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)

Normalvektorform der Ebenengleichung

Bei der Normalvektorform der Ebene \(\varepsilon\) wird ein Aufpunkt P und ein Normalvektor \(\overrightarrow n\), welcher im rechten Winkel auf die Ebene steht, benötigt. Mit Hilfe dieser Bestimmungsgröße kann jeder beliebige Punkt X der Ebene berechnet werden. Die Koordinaten des Normalvektors sind zugleich die Koeffizienten der allgemeinen Form der Ebenengleichung

Normalvektorform der Ebene, wenn der Aufpunkt P bekannt ist

\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow n \cdot \left( {\overrightarrow X - P} \right) = 0\\ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow X - \overrightarrow n \cdot P = 0 \end{array}\)

Normalvektorform der Ebene, wenn der senkrechte Abstand d vom Koordinatenursprung bekannt ist

Es gehören all jene Punkte X zur Ebene, für die das Skalarprodukt aus deren Ortsvektor mit dem Normalvektor dem minimalen Abstand vom Ursprung d entsprechen

\(\varepsilon :\overrightarrow n \circ \overrightarrow X = d\)

Hessesche Normalform der Ebene.

Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung vom Abstand eines Punktes im Raum von der Ebene. Ersetzt man den Normalvektor durch dessen Einheitsvektor, so erhält man die hessesche Normalform

\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right) = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cdot (X - P) = 0\\ \varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_x}}\\ {{x_y}}\\ {{x_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0 \end{array}\)

Allgemeine Form der Ebenengleichung

Bei der allgmeinen Form einer Ebene sind die Koeffizienten a, b und c zugleich die Koordinaten des Normalvektors und die Variablen x, y und z sind die Koordinaten all jener Punkte X, die auf der Ebene liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a, b und c jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.

\(\begin{array}{l} \varepsilon :a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right) \end{array}\)

Lagebeziehung zweier Punkte

Zwei Punkte im Raum können ident bzw. deckungsgleich sein, oder sie können einen Abstand von einander haben. Wenn sie nicht ident sind, kann man sie durch eine Gerade verbinden. Die Strecke PQ auf der Geraden g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten.

• \(\begin{array}{l} \left\{ {P,Q,R} \right\} \in g\\ d\left( {P,R} \right) = \left| {\overrightarrow {PR} } \right| = 0\\ d(P,Q) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| \ne 0 \end{array}\)

Punkt in Koordinatenform

Punkte im Raum werden durch ihre Koordinaten oder ihren Ortsvektor angegeben.
\(P\left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right);\,\,\,Q\left( \begin{array}{l} {Q_x}\\ {Q_y}\\ {Q_z} \end{array} \right);\)

Punkt als Ortsvektor

Der Ortsvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Ort des Punktes weist. Zu jedem Punkt gibt es exakt einen Ortsvektor.

\(\overrightarrow P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right);\)

Richtungsvektor von P nach Q

Der Richtungsvektor ist ein Vektor, der in die Richtung der Strecke vom ersten Punkt zum zweiten Punkt weist. Der Richtungsvektor hat seinen Anfang nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sonder er ist die Verbindung zweier Ortsvektoren. Der Richtungsvektor definiert ledig die Richtung und die Orientierung der Verbindung der beiden Punkte, jedoch nicht den Abstand der beiden Punkte. D.h. ein Richtungsvektor kann mit einem Skalar multipliziert bzw. parallel verschoben werden, ohne dass sich etwas an seiner Aussagekraft ändert. Es gibt also unendlich viel Richtungsvektoren die von P nach Q weisen.
\(\overrightarrow {PQ} = \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)

Parameterform der Geraden

Die Parameterform der Geraden setzt sich aus einem Aufpunkt zusammen und einem dort ansetzendem Richtungsvektor. Durch Parametervariation von \(\lambda \) erhält man alle Punkte X, die auf der Geraden g liegen
\(g:X = \left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)

Abstand d zweier Punkte

Der Abstand zweier Punkte im Raum kann mit Hilfe vom Satz des Pythagoras formuliert werden, als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Abstände je Koordinatenachse.

\(d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} \)

Gleichung der Hyperbel

Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F₁ und F₂ (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecke F₁X bzw. F₂X nenne man Brennstrecke. Als Scheitelpunkte bezeichnet man jene zwei Punkte der Hyperbel, die am nächsten zum Mittelpunkt der Hyperbel liegen \(S_1\left( {a\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{S_2}\left( { - a\left| 0 \right.} \right)\). 

\(hyp:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {X{F_1}} - \overline {X{F_2}} = 2a} \right.} \right\}\)

Illustration der Einheitshyperbel

Bei der Einheitshyperbel gilt für die Halbachsenlängen: a=b=1. Daher liegen die Scheitelpunkte S₁ bei \(\left( { - 1\left| 0 \right.} \right)\) bzw. S₂ bei \(\left( {1\left| 0 \right.} \right)\) und die Brennpunkte F₁ bei \(\left( { - \sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\) bzw. F₂ bei \(\left( {\sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\). Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\).  Die Illustration veranschaulicht auch den Zusammenhang zwischen a, b und e gemäß: \({b^2} = {e^2} - {a^2}\)

Hyperbel in 1. Hauptlage

Eine Hyperbel in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse, sie haben die Koordinaten \({F_1}\left( {e\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{F_2}\left( { - e\left| 0 \right.} \right)\). 

Normalform der Hyperbelgleichung in 1. Hauptlage

\({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Hyperbel in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Illustration einer Hyperbel in 1. Hauptlage

Hyperbel in 2. Hauptlage

Eine Hyperbel in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse.

Normalform der Hyperbelgleichung in 2. Hauptlage

\(- {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Hyperbel in 2. Hauptlage

\(- \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)

Lagebeziehung Punkt und Hyperbel

Ein Punkt kann bezüglich einer Hyperbel innerhalb, außerhalb oder auf der Hyperbel liegen

• P liegt innerhalb der Hyperbel:
  \({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 < {a^2}{b^2}\)
• P liegt auf der Hyperbel:
  \({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 = {a^2}{b^2}\)
• P liegt außerhalb der Hyperbel:
  \({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 > {a^2}{b^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Hyperbel​

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Hyperbel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente

Berührbedingung Gerade an Hyperbel

Die Berührbedingung der Hyperbel ergibt sich aus der halben Haupt- und Nebenachse der Hyperbel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)

\({a^2}{k^2} - {b^2} = {d^2}\)

Spaltform der Tangentengleichung der Hyperbel

Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Hyperbelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Hyperbel aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)

\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x - {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)

Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

Entweder liegt der Punkt auf der Geraden , oder er liegt außerhalb der Geraden, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden

• \(P \in g\)
• \(P \notin g\)

Prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt

Gleichung der Parabel

Die Parabel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und von einer gegebenen Geraden l (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.

\(par:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XF} = \overline {Xl} } \right.} \right\}\)

Illustration einer Parabel

Einfachste Form der Parabel, die Normalparabel

\(y = a \cdot {x^2}\)​

Der Parameter a entscheidet über die Form der Parabel

Allgemeine Form der Parabel

Der Parameter c heisst y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)

\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

Normalform der Parabel

Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der Parabel.

\(y = {x^2} + p \cdot x + q\)

Nullstellenform der Parabel

Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der Parabel genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel überhaupt die x-Achse schneidet.

\(y = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

Parameterdarstellung der Parabel

\(\eqalign{ & x = a \cdot k + {x_0} \cr & y = b \cdot {k^2} + {y_0} \cr} \)

Scheitelpunktform der Parabel

Die Scheitelpunktform der Parabel ermöglicht es direkt den Scheitelpunkt \(S\left( {d\left| e \right.} \right)\) abzulesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt der Parabel. 

\(\eqalign{
& y = a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e \cr
& {\text{bzw}}{\text{.:}} \cr
& f(x) = a \cdot {\left( {x - {S_x}} \right)^2} + {S_y} \cr} \)

Für eine allgemeine quadratische Funktion gilt:

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr
& {\text{mit:}} \cr
& S = \left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right) = \left( { - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\left| {c - \dfrac{{{b^2}}}{{4 \cdot a}}} \right.} \right) \cr} \)

Die Scheitelpunktform einer Parabel oder allgemein einer quadratischen Gleichung kann man durch die sogenannte "quadratische Ergänzung" aus der allgemeinen Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)  herleiten. 

Für den Term \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x\) erhält man wie folgt die quadratische Ergänzung: \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x + {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2}\)

Es gibt 4 verschiedene Hauptlagen der Parabel

• 1. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven x-Achse: \(x={y^2}\)
• 2. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven y-Achse: \(y=x^2\)
• 3. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen x-Achse: \(x=-{y^2}\)
• 4. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen y-Achse: \(y=-x^2\)

Parabeln vom Grad n:

\(f\left( x \right) = {x^n}\)

n=2: Die einfachsten Form einer Potenzfunktion, also einer nichtlinearen Funktion. Der Graph der sogenannten Normalparabel hat einen typischen U-förmigen Verlauf. S(1 | 1) ist ihr Scheitelpunkt.

n=gerade: Graph liegt symmetrisch zur y-Achse:

n=ungerade: Graph liegt symmetrisch zum y-Ursprung:

Lagebeziehung Punkt und Parabel

Ein Punkt kann bezüglich einer Parabel innerhalb, außerhalb oder auf der Parabel liegen

• P liegt innerhalb der Parabel:
  \({P_y} < 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
• P liegt auf der Parabel:
  \({P_y} = 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
• P liegt außerhalb der Parabel:
  \({P_y} > 2 \cdot p \cdot {P_x}\)

Lagebeziehung Gerade und Parabel

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Parabel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente. Im Fall einer Passante gibt es keinen Schnittpunkt und im Fall einer Sekante gibt es zwei Schnittpunkte. Die jeweilige Lösung: keinen oder zwei Schnittpunkte bzw. einen Berührpunkt erhält man, indem man die Geraden- und die Parabelgleichung gleich setzt.

Berührbedingung Gerade an Parabel

Die Berührbedingung der Parabel ergibt sich aus dem Parameter p der Parabel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man zwei Bestimmungsstücke, so kann man das dritte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & par:{y^2} = 2px \cr}\)

\(p = 2dk\)

Spaltform der Tangente an einen Punkt der Parabel

Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Parabelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Parabel aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).

\(\eqalign{ & \left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & par:{y^2} = 2 \cdot p \cdot x \cr} \)

\(t:{y_T} \cdot y = p \cdot \left( {x - {x_T}} \right)\)

Gleichung der Kugel

Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, ist die Menge aller Punkte X, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben.

\(s\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^3}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)

Kugelgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt

Bei einer Kugel in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt der Kugel im Koordinatenursprung.

• Koordinatenschreibweise:
  \({r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)
• Vektorschreibweise:
  \({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)

Allgemeine Kugelgleichung

Bei der allgemeinen Kugelgleichung ist der Mittelpunkt M der Kugel gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y- und / oder z-Richtung verschoben

• Koordinatenschreibweise:
  \({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} + \left( {z - {M_z}} \right) = {r^2}\)  wobei  \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}\left| {{M_z}} \right.} \right.} \right)\)
• Vektorschreibweise:
  \({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Entweder liegt der Punkt in der Ebene oder außerhalb der Ebene, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene​.

• \(P∈ε\)
• \(Q∉ε\)

Prüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt

Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn er für alle Koordinatenachsen die Ebenengleichung erfüllt

Gegeben sei ein Punkt und eine Ebene

\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon :X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)

Wir prüfen ob der Punkt die Ebenegleichung erfüllt.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)

→ Aus den drei Gleichungen für die x, y und z Komponente kann man die 2 Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\) berechnen

Normalabstand eines Punktes von einer Ebene

zunächst bestimmt man den Normalvektor zur Ebene
Merkregel: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)"

\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_y} \cdot {w_z} - {v_z} \cdot {w_y}}\\ {{v_z} \cdot {w_x} - {v_x} \cdot {w_z}}\\ {{v_x} \cdot {w_y} - {v_y} \cdot {w_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right)\)

dann schreiben wir die Normalform der Ebene an
\(\varepsilon {\rm{:}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_x}}\\ {{X_y}}\\ {{X_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0\)

bzw. die Hesse'sche Normalform der Ebene, für die wir lediglich normieren müssen
\(\varepsilon {\rm{ = }}\dfrac{1}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow x - \overrightarrow q } \right) = 0\)

Letztlich können wir den Abstand d wie folgt anschreiben
\(d\left( {P,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow {{n_0}} } \right|\)

mit \(\overrightarrow {{n_0}} = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Lagebeziehung zweier Geraden

Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, normal, schneidend oder windschief zu einander sein

Implizite Darstellung zweier Geraden:

\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\)

Explizite Darstellung zweier Geraden:

\(\eqalign{ & y = {k_1}x + {d_1} \cr & y = {k_2}x + {d_2} \cr}\)

Umrechnung zwischen impliziter und expliziter Darstellungsform

\({k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,\,\,{d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}}\)

Identische Geraden

Zwei Geraden sind identisch, wenn alle bzw. mindestens 2 Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade sind. Die beiden Geraden fallen dann zusammen. Zwei Geraden sind identisch, wenn

• die beiden Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = g = h\)
• sie die selbe Steigung k und den selben Ordinatenabschnitt d aufweisen

Das Gleichungssystem für 2 deckungsgleiche Geraden hat unendlich viele Lösungen:

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} = {d_2} \cr} \)

Parallele Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie durch eine Verschiebung ineinander übergeführt werden können. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre

• Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\).
• sie die selbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen

Für parallele Gerade kann man einen Abstand zwischen den Geraden angeben.

Das Gleichungssystem für 2 parallele Geraden hat keine Lösung:

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} \ne {d_2} \cr} \)

Schneidende Geraden

Zwei Geraden schneiden einander in einem Punkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt, haben. Zwei Geraden schneiden einander,

• wenn sie in einer Ebene liegen, ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = \left\{ S \right\}\)
• wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen.

Bei einander schneidenden Geraden kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel angeben. Zwei Geraden sind rechtwinkelig, wenn sie einen Schnittpunkt haben und der Schnittwinkel 90° beträgt.

Das Gleichungssystem für 2 schneidende Geraden hat eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\).

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} \ne {k_2} \cr & egal \cr} \)

Windschiefe Geraden

Zwei Gerade sind zu einander windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. Das ist natürlich nur im Raum möglich. Zwei Gerade sind windschief,

• wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\)

Das Gleichungssystem für 2 windschiefe Geraden hat keine Lösung

Illustration identischer, paralleler, schneidender und windschiefer Geraden

Normale Geraden

Eine Gerade n steht auf die Gerade g mit der Steigung k \(\left( {k \ne 0} \right)\) dann normal / senkrecht / im rechten Winkel, wenn die Steigung von n: \( - \dfrac{1}{k}\) beträgt. Im Spezialfall von k=0 nennt man die Gerade g eine horizontale Gerade und jede vertikale Gerade ist eine normale Gerade dazu.

Illustration einer Geraden und der Normalen dazu

Schnittpunkt S von zwei Geraden

Den Schnittpunkt von zwei Geraden, so es ihn überhaupt gibt, erhält man, indem man die beiden Geraden gleichsetzt, da der Schnittpunkt beiden Geradengleichungen entsprechen muss

• indem man die beiden Geradengleichungen gleichsetzt und die Parameter u und v berechnet
• dann setzt man die beiden Parameter u und v in die jeweilige Geradengleichung ein. Erhält man eine wahre Aussage so gibt es tatsächlich einen Schnittpunkt.
• um die Koordinaten vom Schnittpunkt zu berechnen, setzt man u in \(\overrightarrow g\) ein oder alternativ v in \(\overrightarrow h\).

\(\eqalign{ & \overrightarrow g = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr & \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Schnittwinkel schneidender Geraden

Um den Schnittwinkel schneidender Geraden zu bestimmen bilden wir den Quotienten aus dem Skalarprodukt und dem Betrag der beiden Richtungsvektoren und berechnen davon den Arkuskosinus

\(\cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }}\)

Wobei a und b die Richtungsvektoren der einander schneidenden Geraden sind.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Liegen zwei Gerade nicht in einer Ebene, so sind sie windschief. Die kürzeste Verbindung d(g,h) zwischen 2 windschiefen Geraden g, h ist genau jene Verbindung, die sowohl senkrecht auf g als auch senkrecht auf h steht.

Gegeben sind also zwei windschiefe Gerade g, h, jeweils durch einen Ortsvektor p, q  zu einem Aufpunkt P, Q und je einen Richtungsvektor a, b

\(\begin{array}{l} \overrightarrow g = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow h = \overrightarrow q + \mu \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_x}}\\ {{q_y}}\\ {{q_z}} \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Der gemeinsame Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren ergibt sich mit Hilfe vom Kreuzprodukt wie folgt:

\(\overrightarrow n = \overrightarrow a \times \overrightarrow b \)

Der Abstand der windschiefen Geraden ergibt sich mit Hilfe vom Skalarproukt zu

\(d = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow q - \overrightarrow p } \right) \circ \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Illustration zum Abstand zweier windschiefer Geraden

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Eine Gerade kann eine Ebene schneiden, zur Ebene parallel verlaufen oder in der Ebene liegen. Um herauszufinden wie die Lagebeziehung ist, setzt man die Gleichung der Geraden in die Gleichung der Ebene ein.

Entweder

• schneidet die Gerade die Ebene,
  • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau einer Lösung
• verläuft die Gerade parallel zur Ebene
  
  • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau keiner Lösung
• liegt die Gerade in der Ebene
  
  • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu unendlich vielen Lösungen

Spurpunkt

Als Spurpunkt bezeichnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, die von zwei Achsen des Koordinatensystems aufgespannt wird.

• S_x ist der Durchstoßpunkt durch die yz-Ebene
• S_y ist der Durchstoßpunkt durch die xz-Ebene
• S_z ist der Durchstoßpunkt durch die xy-Ebene

Man bestimmt den Spurpunkt mit folgenden zwei Schritten:

• Abhängig vom Spurpunkt S_i setzt man die i-te Zeile der Geradengleichung gleich Null und bestimmt den Wert von Lambda.
• Man setzt Lambda in die verbleibenden Zeilen der Geradengleichung ein und erhält so die fehlenden Komponenten des Spurpunkts

\(\begin{array}{l}
g:\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right)\\
{S_y} = {A_y} + \lambda \cdot {r_y} = 0 \to \lambda = - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}}\\
S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_x}}}{{{r_y}}}}\\
0\\
{{A_z} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_z}}}{{{r_y}}}}
\end{array}} \right)
\end{array}\)

Schnittpunkt Gerade und Ebene

Man setzt die Gleichung der Geraden mit der Gleichung der Ebene gleich. Der gemeinsame Punkt ist der Schnittpunkt.

\(\overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b\)

Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der Parameterform

\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:\overrightarrow X = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Wir setzen nun die Gerade und die Ebene gleich, um den Schnittpunkt zu finden:

\(\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)

Somit haben wir für x, y und z jeweils eine eigene Gleichung, also 3 Gleichungen aus denen wir die 3 Unbekannten \(\lambda ,\sigma {\text{ und }}\tau\) ermitteln können.

Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der parameterfreien Form

\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:{n_1} \cdot x + {n_2} \cdot y + {n_3} \cdot z + {c_1} = 0 \cr} \)

Aus der Geradengleichung ...

\(\eqalign{ & x = \left( {{p_x} + \lambda \cdot {v_x}} \right) \cr & y = \left( {{p_y} + \lambda \cdot {v_y}} \right) \cr & z = \left( {{p_z} + \lambda \cdot {v_z}} \right) \cr}\)

... und durch Einsetzen in die Ebenengleichung errechnet sich die einzige Unbekannte \(\lambda\)

\(\eqalign{ & {\rm{E:}}\,\,\,{{\rm{n}}_1} \cdot \left( {{p_x} + \lambda {v_x}} \right) + {n_2} \cdot \left( {{p_y} + \lambda {v_y}} \right) + {n_3} \cdot \left( {{p_z} + \lambda {v_z}} \right) + {c_1} \cr & \overrightarrow {0S} = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene.

Gerade, gegeben durch ihren Richtungsvektor:

\(\overrightarrow r = \left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)

Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow n = \left( {\matrix{ {{n_x}} \cr {{n_y}} \cr {{n_z}} \cr } } \right)\)

Daraus ergibt sich der Schnittwinkel wie folgt:

\(\eqalign{ & \varphi = \arcsin {{\left| {\overrightarrow r \cdot \overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow r } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \varphi = \arcsin {{\left| {{r_x} \cdot {n_x} + {r_y} \cdot {n_y} + {r_z} \cdot {n_z}} \right|} \over {\sqrt {{r_x}^2 + {r_y}^2 + {r_z}^2} .\sqrt {{n_x}^2 + {n_y}^2 + {n_z}^2} }} \cr}\)