Lagebeziehung Punkt und Gerade
Entweder liegt der Punkt auf der Geraden , oder er liegt außerhalb der Geraden, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden
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Formeln
Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade
Entweder liegt der Punkt auf der Geraden , oder er liegt außerhalb der Geraden, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden
- \(P \in g\)
- \(P \notin g\)
Prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt
Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn er für alle Koordinatenachsen die Geradengleichung erfüllt
Gegeben sei ein Punkt und eine Gerade
\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)\)
Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{P_x}}& = &{{Q_x}}& + &{{\lambda _1}.{v_x}}& \Rightarrow &{{\lambda _1} = \frac{{{P_x} - {Q_x}}}{{{v_x}}}}\\ {{P_y}}& = &{{Q_y}}& + &{{\lambda _2}.{v_y}}& \Rightarrow &{{\lambda _2} = \frac{{{P_y} - {Q_y}}}{{{v_y}}}}\\ {{P_z}}& = &{{Q_z}}& + &{{\lambda _3}.{v_z}}& \Rightarrow &{{\lambda _3} = \frac{{{P_z} - {Q_z}}}{{{v_z}}}} \end{array}\)
→ Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn es für alle Koordinatenachsen einen einzigen und somit einheitlichen Parameter \(\lambda\) gibt, sodass der Punkt die Geradengleichung erfüllt
\({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} \Rightarrow P \in \overrightarrow g\)
→ Der Punkt liegt außerhalb der Geraden, wenn es für einzelne Koordinatenachsen unterschiedliche Parameter \(\lambda\) gibt.
Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt:
\(\eqalign{
& y = k \cdot x + d \cr
& P\left( {{P_x}|{P_y}} \right) \cr
& \cr
& P \to y \cr
& {P_y} = k \cdot {P_x} + d \to {\text{wahre Aussage}} \cr} \)
Normalabstand eines Punktes von einer Geraden
Der Normalabstand eines Punktes von einer Geraden entspricht dem Abstand des Punkts zu seinem Lotpunkt auf der Geraden. Der Lotpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene, die einerseits den Punkt enthält und die andererseits orthogonal zur Geraden steht.
- Man stellt zunächst die Gleichung einer Ebene n auf, die durch den Punkt P verläuft und orthogonal zur Geraden g liegt.
- Dann bestimmt man den Lotfußpunkt, das ist jener Punkt L, in dem die Gerade g die Ebene n durchstößt.
- Abschließend bestimmt man den Abstand des Punktes P vom Lotfußpunkt L.
\(\begin{array}{l} d\left( {P,g} \right) = \left| {\overrightarrow {PL} } \right| = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \times \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\ d\left( {P,g} \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right)} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} }} = Skalar \end{array}\)
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Aufgaben
Aufgabe 1297
AHS - 1_297 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punkt und Gerade
Gegeben sind der Punkt \(P = \left( { - 1\left| {5\left| 6 \right|} \right.} \right)\) und die Gerade g, die durch die Punkte \(A = \left( {2\left| { - 3\left| 2 \right.} \right.} \right)\) und \(B = \left( {5\left| {1\left| 0 \right.} \right.} \right)\) verläuft.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, ob der gegebene Punkt P auf der Geraden g liegt, und überprüfen Sie diese Aussage anhand einer Rechnung!
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