Punkt in der Ebene

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Entweder liegt der Punkt in der Ebene oder außerhalb der Ebene, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene​.

• \(P∈ε\)
• \(Q∉ε\)

Prüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt

Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn er für alle Koordinatenachsen die Ebenengleichung erfüllt

Gegeben sei ein Punkt und eine Ebene

\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon :X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)

Wir prüfen ob der Punkt die Ebenegleichung erfüllt.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)

→ Aus den drei Gleichungen für die x, y und z Komponente kann man die 2 Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\) berechnen

Normalabstand eines Punktes von einer Ebene

zunächst bestimmt man den Normalvektor zur Ebene
Merkregel: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)"

\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_y} \cdot {w_z} - {v_z} \cdot {w_y}}\\ {{v_z} \cdot {w_x} - {v_x} \cdot {w_z}}\\ {{v_x} \cdot {w_y} - {v_y} \cdot {w_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right)\)

dann schreiben wir die Normalform der Ebene an
\(\varepsilon {\rm{:}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_x}}\\ {{X_y}}\\ {{X_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0\)

bzw. die Hesse'sche Normalform der Ebene, für die wir lediglich normieren müssen
\(\varepsilon {\rm{ = }}\dfrac{1}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow x - \overrightarrow q } \right) = 0\)

Letztlich können wir den Abstand d wie folgt anschreiben
\(d\left( {P,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow {{n_0}} } \right|\)

mit \(\overrightarrow {{n_0}} = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)