Gleichung der Ellipse
Formel
Gleichung der Ellipse
Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecken F1P bzw. F2P nennt man Brennstrecke. Schneidet man einen geraden Zylinder mit einer Ebene, dann ist die Schnittlinie eine Ellipse.
\([ell = \left\{ {P \in ell:\overline {{F_1}P} + \left| {P{F_2}} \right| = 2a > \overline {{F_1}{F_2}} } \right\}\)
Die Brennstrecken sind die beiden Abstände eines Punkts auf der Ellipse von den beiden Brennpunkten der Ellipse. Die Summe der beiden Brennstrecken ist immer gleich lang wie die doppelte Hauptachse.
A, B | Hauptscheitel |
C, D | Nebenscheitel |
a | große Halbachse, zugleich halbe Hauptachse |
b | kleine Halbachse, zugleich halbe Nebenachse |
F1, F2 | Brennpunkte |
e | lineare Exzentrizität |
mit:
\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)
Im Spezialfall a=b wird aus der Ellipse ein Kreis.
Ellipse in 1. Hauptlage
Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse \({F_{1,2}}\left( { \pm e\left| 0 \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:
Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Flächeninhalt Ellipse
\(A = a \cdot b \cdot \pi \)
Illustration einer Ellipse in 1. Hauptlage
Ellipse in 2. Hauptlage
Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse \({F_{1,2}}\left( {0\left| { \pm e} \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:
Normalform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Illustration einer Ellipse in 2. Hauptlage
Lagebeziehung Punkt und Ellipse
Ein Punkt kann bezüglich einer Ellipse innerhalb, außerhalb oder auf der Ellipse liegen
- P liegt innerhalb der Ellipse:
\({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 < {a^2}{b^2}\) - P liegt auf der Ellipse:
\({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 = {a^2}{b^2}\) - P liegt außerhalb der Ellipse: \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 > {a^2}{b^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Ellipse
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ellipse interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente
Berührbedingung Gerade an Ellipse
Die Berührbedingung der Ellipse ergibt sich aus der großen und der kleinen Halbachse der Ellipse sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)
\({a^2}{k^2} + {b^2} = {d^2}\)
Spaltform der Tangentengleichung der Ellipse
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Ellipsengleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Ellipse aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)
\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x + {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)
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