Lagebeziehung zweier Punkte
Formel
Lagebeziehung zweier Punkte
Zwei Punkte im Raum können ident bzw. deckungsgleich sein, oder sie können einen Abstand von einander haben. Wenn sie nicht ident sind, kann man sie durch eine Gerade verbinden. Die Strecke PQ auf der Geraden g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten.
- \(\begin{array}{l} \left\{ {P,Q,R} \right\} \in g\\ d\left( {P,R} \right) = \left| {\overrightarrow {PR} } \right| = 0\\ d(P,Q) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| \ne 0 \end{array}\)
Punkt in Koordinatenform
Punkte im Raum werden durch ihre Koordinaten oder ihren Ortsvektor angegeben.
\(P\left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right);\,\,\,Q\left( \begin{array}{l} {Q_x}\\ {Q_y}\\ {Q_z} \end{array} \right);\)
Punkt als Ortsvektor
Der Ortsvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Ort des Punktes weist. Zu jedem Punkt gibt es exakt einen Ortsvektor.
\(\overrightarrow P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right);\)
Richtungsvektor von P nach Q
Der Richtungsvektor ist ein Vektor, der in die Richtung der Strecke vom ersten Punkt zum zweiten Punkt weist. Der Richtungsvektor hat seinen Anfang nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sonder er ist die Verbindung zweier Ortsvektoren. Der Richtungsvektor definiert ledig die Richtung und die Orientierung der Verbindung der beiden Punkte, jedoch nicht den Abstand der beiden Punkte. D.h. ein Richtungsvektor kann mit einem Skalar multipliziert bzw. parallel verschoben werden, ohne dass sich etwas an seiner Aussagekraft ändert. Es gibt also unendlich viel Richtungsvektoren die von P nach Q weisen.
\(\overrightarrow {PQ} = \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)
Parameterform der Geraden
Die Parameterform der Geraden setzt sich aus einem Aufpunkt zusammen und einem dort ansetzendem Richtungsvektor. Durch Parametervariation von \(\lambda \) erhält man alle Punkte X, die auf der Geraden g liegen
\(g:X = \left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)
Abstand d zweier Punkte
Der Abstand zweier Punkte im Raum kann mit Hilfe vom Satz des Pythagoras formuliert werden, als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Abstände je Koordinatenachse.
\(d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} \)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
Aktuelle Lerneinheit
| Lagebeziehung zweier Punkte | Zwei Punkte im Raum können durch einen Vektor verbunden werden. Anschließend kann der Betrag bzw. die Länge des Vektors errechnet werden, und man erhält damit den Abstand der beiden Punkte |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Gleichung der Kugel | Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben. |
| Gleichung der Ellipse | Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
| Ebenengleichungen und ihre Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt |
| Geradengleichungen und deren Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie Form der Geraden |
| Gleichung der Parabel | Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Brennpunkt und von einer gegebenen Leitgerade den gleichen Abstand haben. |
| Gleichung der Hyperbel | Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
| Gleichung des Kreises | Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben. |
| Lagebeziehung zweier Ebenen | Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden |
| Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene | Eine Gerade kann eine Ebene entweder schneiden, parallel zur Ebene liegen oder in der Ebene liegen |
| Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene | Entweder liegt der Punktauf in oder außerhalb einer Ebene |
| Lagebeziehung zweier Geraden | Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, komplanar oder windschief zu einander sein |
| Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade | Entweder liegt der Punkt auf oder außerhalb einer Geraden. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4089
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014
Teil d
Alkaid und Dubhe sind zwei Sterne des Sternbilds Großer Wagen. Ihre Positionen können mittels ihrer Koordinaten in Lichtjahren in Bezug auf ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem angegeben werden. Dabei befindet sich die Erde im Koordinatenursprung O.
- Alkaid: A = (–60|–31| 79)
- Dubhe: D = (–57|14|109)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OD .
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Entfernung der beiden Sterne voneinander.
[1 Punkt]
Aufgabe 105
Winkel zwischen 2 Vektoren
Es sind die Punkte \(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)\), \(B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(S\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right)\)gegeben.
Berechne den Winkel \(\varphi\) zwischen \(\overrightarrow {AS}\) und \(\overrightarrow {BS} \).
Aufgabe 103
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 5 \cr 4 \cr } } \right)\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors:\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 104
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ {15} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr 5 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
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Bild
Aufgabe 4057
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Straßenbau - Aufgabe B_408
Teil b
Zwischen zwei Punkten C und D soll eine geradlinige Verbindungsstraße errichtet werden (siehe nachstehendes Koordinatensystem).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors \(\overrightarrow {CD} \)
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Betrag des Vektors \(\overrightarrow {CD} \)
[1 Punkt]