Schnittpunkt zweier Geraden

Lagebeziehung zweier Geraden

Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, normal, schneidend oder windschief zu einander sein

Implizite Darstellung zweier Geraden:

\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\)

Explizite Darstellung zweier Geraden:

\(\eqalign{ & y = {k_1}x + {d_1} \cr & y = {k_2}x + {d_2} \cr}\)

Umrechnung zwischen impliziter und expliziter Darstellungsform

\({k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,\,\,{d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}}\)

Identische Geraden

Zwei Geraden sind identisch, wenn alle bzw. mindestens 2 Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade sind. Die beiden Geraden fallen dann zusammen. Zwei Geraden sind identisch, wenn

• die beiden Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = g = h\)
• sie die selbe Steigung k und den selben Ordinatenabschnitt d aufweisen

Das Gleichungssystem für 2 deckungsgleiche Geraden hat unendlich viele Lösungen:

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} = {d_2} \cr} \)

Parallele Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie durch eine Verschiebung ineinander übergeführt werden können. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre

• Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\).
• sie die selbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen

Für parallele Gerade kann man einen Abstand zwischen den Geraden angeben.

Das Gleichungssystem für 2 parallele Geraden hat keine Lösung:

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} \ne {d_2} \cr} \)

Schneidende Geraden

Zwei Geraden schneiden einander in einem Punkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt, haben. Zwei Geraden schneiden einander,

• wenn sie in einer Ebene liegen, ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = \left\{ S \right\}\)
• wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen.

Bei einander schneidenden Geraden kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel angeben. Zwei Geraden sind rechtwinkelig, wenn sie einen Schnittpunkt haben und der Schnittwinkel 90° beträgt.

Das Gleichungssystem für 2 schneidende Geraden hat eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\).

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} \ne {k_2} \cr & egal \cr} \)

Windschiefe Geraden

Zwei Gerade sind zu einander windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. Das ist natürlich nur im Raum möglich. Zwei Gerade sind windschief,

• wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\)

Das Gleichungssystem für 2 windschiefe Geraden hat keine Lösung

Illustration identischer, paralleler, schneidender und windschiefer Geraden

Normale Geraden

Eine Gerade n steht auf die Gerade g mit der Steigung k \(\left( {k \ne 0} \right)\) dann normal / senkrecht / im rechten Winkel, wenn die Steigung von n: \( - \dfrac{1}{k}\) beträgt. Im Spezialfall von k=0 nennt man die Gerade g eine horizontale Gerade und jede vertikale Gerade ist eine normale Gerade dazu.

Illustration einer Geraden und der Normalen dazu

Schnittpunkt S von zwei Geraden

Den Schnittpunkt von zwei Geraden, so es ihn überhaupt gibt, erhält man, indem man die beiden Geraden gleichsetzt, da der Schnittpunkt beiden Geradengleichungen entsprechen muss

• indem man die beiden Geradengleichungen gleichsetzt und die Parameter u und v berechnet
• dann setzt man die beiden Parameter u und v in die jeweilige Geradengleichung ein. Erhält man eine wahre Aussage so gibt es tatsächlich einen Schnittpunkt.
• um die Koordinaten vom Schnittpunkt zu berechnen, setzt man u in \(\overrightarrow g\) ein oder alternativ v in \(\overrightarrow h\).

\(\eqalign{ & \overrightarrow g = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr & \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Schnittwinkel schneidender Geraden

Um den Schnittwinkel schneidender Geraden zu bestimmen bilden wir den Quotienten aus dem Skalarprodukt und dem Betrag der beiden Richtungsvektoren und berechnen davon den Arkuskosinus

\(\cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }}\)

Wobei a und b die Richtungsvektoren der einander schneidenden Geraden sind.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Liegen zwei Gerade nicht in einer Ebene, so sind sie windschief. Die kürzeste Verbindung d(g,h) zwischen 2 windschiefen Geraden g, h ist genau jene Verbindung, die sowohl senkrecht auf g als auch senkrecht auf h steht.

Gegeben sind also zwei windschiefe Gerade g, h, jeweils durch einen Ortsvektor p, q  zu einem Aufpunkt P, Q und je einen Richtungsvektor a, b

\(\begin{array}{l} \overrightarrow g = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow h = \overrightarrow q + \mu \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_x}}\\ {{q_y}}\\ {{q_z}} \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Der gemeinsame Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren ergibt sich mit Hilfe vom Kreuzprodukt wie folgt:

\(\overrightarrow n = \overrightarrow a \times \overrightarrow b \)

Der Abstand der windschiefen Geraden ergibt sich mit Hilfe vom Skalarproukt zu

\(d = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow q - \overrightarrow p } \right) \circ \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Illustration zum Abstand zweier windschiefer Geraden