Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Eine Gerade kann eine Ebene schneiden, zur Ebene parallel verlaufen oder in der Ebene liegen. Um herauszufinden wie die Lagebeziehung ist, setzt man die Gleichung der Geraden in die Gleichung der Ebene ein.

Entweder

• schneidet die Gerade die Ebene,
  • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau einer Lösung
• verläuft die Gerade parallel zur Ebene
  
  • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau keiner Lösung
• liegt die Gerade in der Ebene
  
  • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu unendlich vielen Lösungen

Spurpunkt

Als Spurpunkt bezeichnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, die von zwei Achsen des Koordinatensystems aufgespannt wird.

• S_x ist der Durchstoßpunkt durch die yz-Ebene
• S_y ist der Durchstoßpunkt durch die xz-Ebene
• S_z ist der Durchstoßpunkt durch die xy-Ebene

Man bestimmt den Spurpunkt mit folgenden zwei Schritten:

• Abhängig vom Spurpunkt S_i setzt man die i-te Zeile der Geradengleichung gleich Null und bestimmt den Wert von Lambda.
• Man setzt Lambda in die verbleibenden Zeilen der Geradengleichung ein und erhält so die fehlenden Komponenten des Spurpunkts

\(\begin{array}{l}
g:\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right)\\
{S_y} = {A_y} + \lambda \cdot {r_y} = 0 \to \lambda = - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}}\\
S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_x}}}{{{r_y}}}}\\
0\\
{{A_z} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_z}}}{{{r_y}}}}
\end{array}} \right)
\end{array}\)

Schnittpunkt Gerade und Ebene

Man setzt die Gleichung der Geraden mit der Gleichung der Ebene gleich. Der gemeinsame Punkt ist der Schnittpunkt.

\(\overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b\)

Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der Parameterform

\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:\overrightarrow X = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Wir setzen nun die Gerade und die Ebene gleich, um den Schnittpunkt zu finden:

\(\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)

Somit haben wir für x, y und z jeweils eine eigene Gleichung, also 3 Gleichungen aus denen wir die 3 Unbekannten \(\lambda ,\sigma {\text{ und }}\tau\) ermitteln können.

Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der parameterfreien Form

\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:{n_1} \cdot x + {n_2} \cdot y + {n_3} \cdot z + {c_1} = 0 \cr} \)

Aus der Geradengleichung ...

\(\eqalign{ & x = \left( {{p_x} + \lambda \cdot {v_x}} \right) \cr & y = \left( {{p_y} + \lambda \cdot {v_y}} \right) \cr & z = \left( {{p_z} + \lambda \cdot {v_z}} \right) \cr}\)

... und durch Einsetzen in die Ebenengleichung errechnet sich die einzige Unbekannte \(\lambda\)

\(\eqalign{ & {\rm{E:}}\,\,\,{{\rm{n}}_1} \cdot \left( {{p_x} + \lambda {v_x}} \right) + {n_2} \cdot \left( {{p_y} + \lambda {v_y}} \right) + {n_3} \cdot \left( {{p_z} + \lambda {v_z}} \right) + {c_1} \cr & \overrightarrow {0S} = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene.

Gerade, gegeben durch ihren Richtungsvektor:

\(\overrightarrow r = \left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)

Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow n = \left( {\matrix{ {{n_x}} \cr {{n_y}} \cr {{n_z}} \cr } } \right)\)

Daraus ergibt sich der Schnittwinkel wie folgt:

\(\eqalign{ & \varphi = \arcsin {{\left| {\overrightarrow r \cdot \overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow r } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \varphi = \arcsin {{\left| {{r_x} \cdot {n_x} + {r_y} \cdot {n_y} + {r_z} \cdot {n_z}} \right|} \over {\sqrt {{r_x}^2 + {r_y}^2 + {r_z}^2} .\sqrt {{n_x}^2 + {n_y}^2 + {n_z}^2} }} \cr}\)