Parameterform der Ebenengleichung
Jeder Punkt der Ebene kann ausgehend von einem Startpunkt entlang zweier Richtungsvektoren erreicht werden.
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Formeln
Ebenengleichungen und ihre drei Darstellungsformen
In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt, nachfolgend die Parameterform, die Normalvektorform und die allgemeine Form der Ebenengleichung
X=(x,y,z) | beliebiger Punkt der Ebene |
P | fester Punkt der Ebene, Aufpunkt |
\(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) | Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen |
u, v | Parameter |
\(\overrightarrow n\) | Normalvektor der Ebene |
Parameterform der Ebenengleichung
Es handelt sich bei beiden nachfolgend angeführten Schreibweisen um "Parameterformen" der Ebene, da man alle Punkte der Ebene dadurch erhält, indem man für die Parameter u und v unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt.
Ebene in Koordinatenschreibweise
Jeder Punkt X der Ebene \(\varepsilon\) kann ausgehend von einem Startpunkt \({\rm{P}} \in \varepsilon\) entlang zweier Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\)erreicht werden.
\(\varepsilon :X = P + u.\overrightarrow a + v.\overrightarrow b \)
\(\varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = P + u \cdot \overrightarrow a + v \cdot \overrightarrow b \)
\(\varepsilon :\left\{ \matrix{ x = {p_x} + u \cdot {a_x} + v \cdot {b_x} \cr y = {p_y} + u \cdot {a_y} + v \cdot {b_y} \cr z = {p_y} + u \cdot {a_z} + v \cdot {b_z} \cr} \right.\)
Ortsvektor zu jedem Punkt X in der Ebene
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem Punkt X
\(\overrightarrow x = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u \cdot \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + v \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)
Ebene durch 3 Punkte
Die 3 Punkte dürfen nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
\(P\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right);\,\,\,Q\left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right);\,\,\,R\left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)
2 Richtungsvektoren spannen die Ebene auf:
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right);\,\,\,\overrightarrow {PR} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)
Somit lautet die Ebenengleichung durch den Aufpunkt P und aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren:
\(\varepsilon :X = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)
Normalvektorform der Ebenengleichung
Bei der Normalvektorform der Ebene \(\varepsilon\) wird ein Aufpunkt P und ein Normalvektor \(\overrightarrow n\), welcher im rechten Winkel auf die Ebene steht, benötigt. Mit Hilfe dieser Bestimmungsgröße kann jeder beliebige Punkt X der Ebene berechnet werden. Die Koordinaten des Normalvektors sind zugleich die Koeffizienten der allgemeinen Form der Ebenengleichung
Normalvektorform der Ebene, wenn der Aufpunkt P bekannt ist
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow n \cdot \left( {\overrightarrow X - P} \right) = 0\\ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow X - \overrightarrow n \cdot P = 0 \end{array}\)
Normalvektorform der Ebene, wenn der senkrechte Abstand d vom Koordinatenursprung bekannt ist
Es gehören all jene Punkte X zur Ebene, für die das Skalarprodukt aus deren Ortsvektor mit dem Normalvektor dem minimalen Abstand vom Ursprung d entsprechen
\(\varepsilon :\overrightarrow n \circ \overrightarrow X = d\)
Hessesche Normalform der Ebene.
Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung vom Abstand eines Punktes im Raum von der Ebene. Ersetzt man den Normalvektor durch dessen Einheitsvektor, so erhält man die hessesche Normalform
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right) = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cdot (X - P) = 0\\ \varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_x}}\\ {{x_y}}\\ {{x_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0 \end{array}\)
Allgemeine Form der Ebenengleichung
Bei der allgmeinen Form einer Ebene sind die Koeffizienten a, b und c zugleich die Koordinaten des Normalvektors und die Variablen x, y und z sind die Koordinaten all jener Punkte X, die auf der Ebene liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a, b und c jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.
\(\begin{array}{l} \varepsilon :a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right) \end{array}\)
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