Bayern Mathematik Abitur 2015 - Prüfungsteil A+B - mit CAS - Gruppe 2

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \left( {{x^3} - 8} \right) \cdot \left( {2 + \ln x} \right)\) mit maximalem Definitionsbereich D.

1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie D an.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Nullstellen von f

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Graph und Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen

Gegeben sind die in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen f, g und h mit

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 \cr & g\left( x \right) = {x^3} - x + 1 \cr & h\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 1 \cr} \)

Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.

Bild

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

Die erste Ableitungsfunktion von h ist h‘.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} \).

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Parameter von Funktionen

1. Teilaufgabe a) 1 BE - 140 Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {ax} \right)\) eine Nullstelle in \(x = \dfrac{\pi }{6}\)  hat.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion \(g:x \mapsto \sqrt {{x^2} - b} \)  den maximalen Definitionsbereich \({\Bbb R}\backslash \left] { - 2;2} \right[\)  besitzt.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie, dass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(h:c \mapsto 4 - {e^x}\) den Wertebereich \(\left] { - \infty ;4} \right[\) besitzt.

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Newtonsches Näherungsverfahren

Die nachfolgende Abbildung 

zeigt den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten differenzierbaren Funktion

\(g:x \mapsto g\left( x \right)\)

Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g ermittelt werden.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

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Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6{\text{ und }}x \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2 | 0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3 | 2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Gleichung von h an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

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Binomialverteilte Zufallsgröße

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen“ berechnet werden kann.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

• Aussage 1: \(1 - {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8}\)
   
• Aussage 2: \({\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8} + 8 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^7}\)

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Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße X festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße X.

Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße X notiert.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

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Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(0 |1| 2) und B(2 | 5 | 6).

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie, dass die Punkte A und B den Abstand 6 haben.

Die Punkte C und D liegen auf g und haben von A jeweils den Abstand 12.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.

Die Punkte A, B und E(1| 2 | 5) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

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Nachfolgende Abbildung zeigt die Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD. Der Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge 1 besteht.

Bild

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide ABCDS an.

2. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie unter Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte B und S verläuft.

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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Gegeben ist die Funktion

\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)

mit maximalem Definitionsbereich D_f . Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen G_f von f.

Bild

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie den Graphen der in \({{\Bbb R}_0}^ + \) definierten Funktion  \(w:x \mapsto \sqrt x \) in oben stehende Abbildung ein.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Möglichkeit dafür an, wie der Graph von f schrittweise aus dem Graphen von w hervorgehen kann.

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den G_f und die y-Achse einschließen.

4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass G_f keine waagrechte Tangente besitzt.

Für jedes \(x \in {D_f}{\text{ mit }}0 < x < 8\) wird ein Dreieck OP_xQ_x mit den Eckpunkten

\(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,\,{P_x}\left( {x\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}{Q_x}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) festgelegt.

5. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Tragen Sie für x=4 das zugehörige Dreieck OP₄Q₄ in Abbildung 1 ein.

6. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt A des Dreiecks OPxQx durch den Term 

\(A\left( x \right) = \sqrt {4 \cdot {x^2} - \dfrac{1}{2} \cdot {x^3}} \) beschrieben wird.

Es gibt ein Dreieck OPxQx mit maximalem Flächeninhalt A_max .

7. Teilaufgabe d) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40

Bestimmen Sie den prozentualen Anteil von A_max am Inhalt der Fläche, die G_f im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gf der Funktion f  

\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)

Bild

Gegeben ist weiter die Gerade g mit der Gleichung \(y = - \dfrac{1}{2}x + 7,5\)

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeichnen Sie die Gerade g in die Abbildung ein.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punkts \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\)  von G_f , in dem die Tangente an G_f parallel zur Geraden g ist.

(Teilergebnis: x_T=6 )

3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie den Abstand d des Punkts T von der Geraden g.

Betrachtet wird zusätzlich die Differenzfunktion

\(u:x \mapsto g\left( x \right) - f\left( x \right){\text{ mit }}{D_u} = {D_f}\)

4. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Zeigen Sie, dass u an der Stelle x_T ein Minimum u(x_T) besitzt.

5. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Minimum u(x_T) der Differenzfunktion u größer ist als der Abstand des Punkts T von der Geraden g.

6. Teilaufgabe d.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeichnen Sie dazu auch geeignete Strecken in oben stehende Abbildung ein.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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Ein Fahrzeug bremst mit konstanter Verzögerung bis zum Stillstand ab. Der gesamte Bremsweg in Metern wird dabei mit x_B bezeichnet. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs beträgt zu Beginn des Bremsvorgangs 20 m/s und nimmt in den ersten zehn Metern um 2 m/s ab.

Für \(0 \leqslant x \leqslant {x_B}\) gibt der Term \(v\left( x \right) = \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot a \cdot x} \) die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s während des Bremsvorgangs in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg x in Metern an. Dabei ist a der Betrag der Verzögerung des Fahrzeugs in m/s².

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Werte von a

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Werte von x_B

Betrachtet wird für \(\left( {0 \leqslant x \leqslant {x_B} - 10} \right)\) der Term \(h\left( x \right) = v\left( x \right) - v\left( {x + 10} \right)\).

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

4. Teilaufgabe b.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Begründen Sie, dass \(2 \cdot \sqrt {19} \) der maximale Wert von h(x) ist.