Aufgabe 6015
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Nachfolgende Abbildung zeigt die Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD. Der Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge 1 besteht.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide ABCDS an.
2. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie unter Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte B und S verläuft.
3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Die unterste Ebene besteht aus 5x5=25 Würfeln
- Die mittlere Ebene besteht aus 3x3=9 Würfeln
- Die oberste Ebene besteht aus 1 Würfel.
Das macht in Summe 25+9+1=35 Würfel. Jeder Würfel hat das Volumen 1³ VEH. Somit haben 35 Würfel das Volumen 35 Volumseinheiten.
→ Das Volumen der Stufenpyramide beträgt 35 Volumseinheiten.
Alpha sei der Winkel zwischen der Geraden AS und der Grundebene. Wenn wir die Pyramide in der Ebene ACS durchschneiden, dann kommt derselbe Winkel Alpha bei 2 kongruenten Dreiecken vor:
Zum einen im Dreieck zwischen A und der Ecke vom Würfel in der untersten Ebene:
\(\begin{array}{l} d = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \\ tan\left( \alpha \right) = \dfrac{{{\rm{Gegenkathet}}{{\rm{e}}_1}}}{{{\rm{Ankathet}}{{\rm{e}}_1}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array}\)
Zum anderen im Dreieck zwischen A und der Spitze S der Pyramide:
\(\begin{array}{l} tan\left( \alpha \right) = \dfrac{{{\rm{Gegenkathet}}{{\rm{e}}_2}}}{{{\rm{Ankathet}}{{\rm{e}}_2}}} = \dfrac{h}{{3,5 \cdot d}}\\ {\rm{h = Gegenkathet}}{{\rm{e}}_{\rm{2}}}{\rm{ = Ankathet}}{{\rm{e}}_{\rm{2}}} \cdot tan\left( \alpha \right) = \left( {3,5 \cdot d} \right) \cdot \tan \left( \alpha \right) = 3,5 \cdot \sqrt 2 \cdot \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = 3,5 \end{array}\)
→ Die Höhe der Pyramide beträgt 3,5 Kantenlängen.
2. Teilaufgabe:
Wir wählen den Punkt A als Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Damit wir ein Rechtssystem erhalten (Rechte-Hand-Regel) setzen wir:
- x-Achse = Richtung AB
- y-Achse = Richtung AD
- z-Achse = Richtung der Höhe der Pyramide
Wir bestimmen 2 Punkte, die auf der gesuchten Geraden BS liegen:
\(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0\\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3,5}\\ {3,5}\\ {3,5} \end{array}} \right)\)
Wir bestimmen den Vektor von B nach S:
\(\overrightarrow {BS} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3,5}\\ {3,5}\\ {3,5} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3,5}\\ {3,5}\\ {3,5} \end{array}} \right)\)
Wir wählen die Punkt-Vektorform der Geraden:
\(g:X = A + \lambda \cdot \overrightarrow r \)
Somit lautet die Gleichung der gesuchten Geraden:
\(\begin{array}{l} g:X = B + \lambda \cdot \overrightarrow {BS} \\ g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3,5}\\ {3,5}\\ {3,5} \end{array}} \right)\\ {\rm{bzw}}{\rm{.:}}\\ g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) \end{array}\)
Die beiden Gleichungen sind darum gleichwertig, weil es sich beim Vektor um einen Richtungsvektor handelt, und wir daher jede der 3 Komponenten mit 3,5 dividieren dürfen, ohne die Richtung oder die Orientierung des Vektors zu ändern.
3. Teilaufgabe:
Wir wählen den Punkt A als Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Damit wir ein Rechtssystem erhalten (Rechte-Hand-Regel) setzen wir:
- x-Achse = Richtung AB
- y-Achse = Richtung AD
- z-Achse = Richtung der Höhe der Pyramide
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- Das Volumen der Stufenpyramide beträgt 35 Volumseinheiten.
- Die Höhe der Pyramide beträgt 3,5 Kantenlängen.
2. Teilaufgabe:
\(\begin{array}{l} g:X = B + \lambda \cdot \overrightarrow {BS} \\ g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3,5}\\ {3,5}\\ {3,5} \end{array}} \right)\\ {\rm{bzw}}{\rm{.:}}\\ g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 0\\ 0 \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ 1 \end{array}} \right) \end{array}\)
3. Teilaufgabe: