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Aufgabe 6012

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße X festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt.

Zahl c Zahl c: Säulendiagramm({0, 1, 2}, {0.25, 0.25, 0.5}, 0.5) Zahl c Zahl c: Säulendiagramm({0, 1, 2}, {0.25, 0.25, 0.5}, 0.5) Zahl c Zahl c: Säulendiagramm({0, 1, 2}, {0.25, 0.25, 0.5}, 0.5) Zahl c Zahl c: Säulendiagramm({0, 1, 2}, {0.25, 0.25, 0.5}, 0.5) Zahl c Zahl c: Säulendiagramm({0, 1, 2}, {0.25, 0.25, 0.5}, 0.5) Zahl c Zahl c: Säulendiagramm({0, 1, 2}, {0.25, 0.25, 0.5}, 0.5) -2 Text1 = “-2” 1 Text2 = “1” 2 Text3 = “2” k Text4 = “k” P(X=k) Text5 = “P(X=k)”

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße X.

Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße X notiert.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Wir entnehmen der Abbildung folgende Werte:

\(\begin{array}{l} P\left( {X = - 2} \right) = 0,25\\ P(X = 1) = 0,25\\ P(X = 2) = 0,5 \end{array}\)

Der Erwartungswert der Binomialverteilung entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} \cdot {p_1} + ... + } {x_i} \cdot {p_i}\)

Somit:
\(E\left( X \right) = - 2 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,25 + 2 \cdot 0,5 = 0,75\)

Der Erwartungswert der Zufallsgröße X beträgt 0,75.

2. Teilaufgabe:

Wir notieren alle möglichen Ergebnisse, wenn das Zufallsexperiment 2-mal durchgeführt wird:
\(\begin{array}{l} - 2 + \left( { - 2} \right) = - 4\\ - 2 + 1 = - 1\\ - 2 + 2 = 0\\ \\ 1 + \left( { - 2} \right) = - 1\\ 1 + 1 = 2\\ 1 + 2 = 3\\ \\ 2 + \left( { - 2} \right) = 0\\ 2 + 1 = 2\\ 2 + 2 = 4 \end{array}\)

 

Es gibt also 3 Ereignisse, bei denen die Summe beiden Zufallsgrößen negativ ist. Das sind:
\(\begin{array}{l} {P_{{\rm{negativ}}}} = P\left[ {\left( { - 2\& - 2} \right);\left( { - 2\& 1} \right);\left( {1\& - 2} \right)} \right] = \\ = 0,25 \cdot 0,25 + 0,2 \cdot 0,5 + 0,25 \cdot 0,25 = \\ = 3 \cdot 0,0625 = 0,1875 \end{array}\)

Wir haben dabei jeweils die Wahrscheinlichkeiten der beiden hintereinander auftretenden Ereignisse multipliziert und dann die drei Produkte addiert.

→ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist beträgt 0,1875 bzw 18,75%.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe:
Der Erwartungswert der Zufallsgröße X beträgt 0,75.

2. Teilaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist beträgt 0,1875 bzw 18,75%.